こんばんは。高校3年です。数学Bのベクトルで習った「内積」についてなのですが。

ご助力いただけると嬉しいです。

「内積計算」がわかりません。
内積=0⇒直角は理解できますが、内積の値が3とか、-2とか、このように0でない場合でも、
いくつかの内積値を足しあわせて0となるなら、ある2ベクトル間のなす角が直角であることを
証明できたりします。なぜでしょうか。私たちが何かしらの計算を行うとき、必ず「単位」を
設定しますよね。三平方の定理の定理だって、a,b,cは「長さ」の値で、a^2,b^2,c~2は面積の数。
1Lは体積、1kgは重さというように・・・。
では、内積"3"とはなんですか?んで、それを足したり引いたりします。
私は一体何を足し引きしてるんでしょうか。
結果0ならある2ベクトル間の直交が示される。なぜですか?

なんというか、数式処理の結果「はい、こうだから証明おわり。」
というようなことを私は教えてもらいたい訳ではなく、
もっと直感的で概略的な理解を得たいのです。得体のしれない概念をこれから使っていくより、
きちんと理解してすっきりしたいです。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2010/08/27 00:45:49
  • 終了:2010/08/27 03:54:11

回答(1件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4359ベストアンサー獲得回数3982010/08/27 02:17:23

ポイント60pt

 こちらは参考になるでしょうか。

内積の値が3とか、-2とか、このように0でない場合でも、いくつかの内積値を足しあわせて0となるなら、ある2ベクトル間のなす角が直角であることを証明できたりします。

 初めて聞きました。具体例を示して下さい。恐らく何か誤解されているのでしょう。

 もしかして、成分の積を内積と誤解されているのでしょうか。成分の積は内積じゃないです。内積はベクトル同士の演算です。

 ちなみに、x軸方向の単位ベクトルを↑i、y軸方向の単位ベクトルを↑jとし、2つのベクトル↑a=(a1,a2)、↑b=(b1,b2)の内積を考えるとき、

 ↑a・↑b=(a1↑i+a2↑j)・(b1↑i+b2↑j)

 =a1b1(↑i・↑i)+a2b1(↑j・↑i)+a1b2(↑i・↑j)+a2b2(↑j・↑j)・・・①

 (↑i・↑i)=|↑i|^2=1 ∵単位ベクトル

 (↑j・↑j)=|↑j|^2=1 ∵単位ベクトル

 (↑i・↑j)=(↑j・↑i)=0 ∵↑i⊥↑j ∵x軸方向⊥y軸方向

 これらを①に代入して、

∴↑a・↑b=a1b1+a2b2・・・②

 また、内積の定義

↑a・↑b=|↑a||↑b|cosθで、θ=90°のとき、cos90°=0だから、↑a・↑b=0・・・③

 ②③から、

 ↑a・↑b=a1b1+a2b2=0

 内積は、「↑a・↑b」であって、「a1b1」と「a2b2」のような成分の積は内積ではありません。

 コメント欄が開いていなかったので、回答欄に書きましたが、コメント欄を開けておいた方がお得ですよ。補足などをしてもらえます。

※参考URL

●内積

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/vector/henkan-tex.cgi...

●3. 内積と外積

図形的意味としては↑aを↑bに射影させた辺の長さ|↑a|cosθに|↑b|をかけた量

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/restudyVector2/#id11

●「内積の定義」の導入について

http://izumi-math.jp/G_Kakuta/in_pro/in_pro.htm

●[PDF] 内積の導入における一考察 北海道浜頓別高等学校 吉田亮介

http://izumi-math.jp/R_Yoshida/inner_product.pdf

●ベクトルの内積の意味 - GAM-22のメモ

http://gmr.blog.shinobi.jp/Entry/723/

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