1282975566 メネラウスの定理と、チェバの定理を使った問題について、質問があります。

久しぶりにこの定理の復習をしようと思って問題に取り組んでみたのですが・・・どうにも答えが出ませんでして(;_;)
問題は2つ(3つ)あります。
添付ファイルを、ご覧いただければ幸いです。
よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/08/28 15:06:07
  • 終了:2010/09/01 05:14:05

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4359ベストアンサー獲得回数3982010/08/28 23:35:24

ポイント100pt

 こちらは参考になるでしょうか。

[4]

 メネラウスの定理から、

 (CD/DF)(FE/EA)(AB/BC)=1

∴(3/2)(3/(3+2))(AB/BC)=1

∴(9/10)(AB/BC)=1

∴AB/BC=10/9

∴AB:BC=10:9

 同様にして、

 (ED/DB)(BC/CA)(AF/FE)=1

∴(ED/DB)(9/(9+10))(2/3)=1

∴(ED/DB)(6/19)=1

∴ED/DB=19/6

∴ED:DB=19:6・・・①

 ∠BDC=∠FDEだから、三角形の面積の公式S=(1/2)bc*Sin[A]から分かるように、

三角形の面積は、同じ角を挟む辺の積に比例します。

∴△BCD:△DEF=BD×DC:FD×DE

=(BD×DC)/(FD×DE)

=(BD/DE)×(DC/FD)・・・②

 ここで、①から、

 BD/DE=6/19・・・③

 また、題意より、

 DC/FD=CD/DF=3/2・・・④

③④を②に代入して、

 △BCD:△DEF=(6/19)×(3/2)

=9/19

=9:19

[5]

(1) チェバの定理より、

 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1

∴(AF/FB)(1/2)(4/3)=1

∴(AF/FB)(2/3)=1

∴AF/FB=3/2

∴AF:FB=3:2

(2)

  △AFGと△ABCの底辺の比は、(1)の結果より、

 AF:AB=3:(3+2)=3:5

∴AF/AB=3/5・・・①

 高さの比は、FG:FCになる。

 メネラウスの定理より、

 (CG/GF)(FB/BA)(AE/EC)=1

 (1)の結果より、FB:BA=2:(2+3)=2:5=2/5

∴(CG/GF)(2/5)(3/4)=1

∴(CG/GF)(2/5)(3/4)=1

∴(CG/GF)(3/10)=1

∴CG/GF=10:3

∴FG:FC=3:(3+10)=3:13

∴FG/FC=3/13・・・②

 三角形の面積の公式S=(1/2)×(底辺)×(高さ)より、(三角形の面積)∝(底辺)×(高さ)から、

 △AFG:△ABC=AF×FG:AB×FC

=(AF×FG)/(AB×FC)

=(AF/AB)(FG/FC)・・・③

 ③に①②を代入して、

 △AFG/△ABC=(3/5)(3/13)=9/65

∴△ABC=(65/9)△AFG

∴△ABC=(65/9)×18[cm^2]

=130[cm^2]

(別解)

 △ABCの面積をSとすると、参考URLの「16.等高な三角形の面積比」より、

△ABC:△AFC=(3+2):3=5:3

∴S:△AFC=5:3

∴5△AFC=3S

∴△AFC=(3/5)S・・・④

同様にして、②から

△AFC:△AFG=13:3

∴3△AFC=13△AFG・・・⑤

これに④を代入して、

3*(3/5)S=13△AFG

∴S=(65/9)△AFG=(65/9)×18[cm^2]

∴S=130[cm^2]

※参考URL

●平面図形の基本性質の確認 ←16,17,18,32,33参照

http://izumi-math.jp/S_Yoshida/matome/sa_heimen.pdf

id:moon-fondu

遅くなってすいません(>_<)

理解できました!

ありがとうございます(^_^;)

2010/09/01 05:10:28

その他の回答(3件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4359ベストアンサー獲得回数3982010/08/28 23:35:24ここでベストアンサー

ポイント100pt

 こちらは参考になるでしょうか。

[4]

 メネラウスの定理から、

 (CD/DF)(FE/EA)(AB/BC)=1

∴(3/2)(3/(3+2))(AB/BC)=1

∴(9/10)(AB/BC)=1

∴AB/BC=10/9

∴AB:BC=10:9

 同様にして、

 (ED/DB)(BC/CA)(AF/FE)=1

∴(ED/DB)(9/(9+10))(2/3)=1

∴(ED/DB)(6/19)=1

∴ED/DB=19/6

∴ED:DB=19:6・・・①

 ∠BDC=∠FDEだから、三角形の面積の公式S=(1/2)bc*Sin[A]から分かるように、

三角形の面積は、同じ角を挟む辺の積に比例します。

∴△BCD:△DEF=BD×DC:FD×DE

=(BD×DC)/(FD×DE)

=(BD/DE)×(DC/FD)・・・②

 ここで、①から、

 BD/DE=6/19・・・③

 また、題意より、

 DC/FD=CD/DF=3/2・・・④

③④を②に代入して、

 △BCD:△DEF=(6/19)×(3/2)

=9/19

=9:19

[5]

(1) チェバの定理より、

 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1

∴(AF/FB)(1/2)(4/3)=1

∴(AF/FB)(2/3)=1

∴AF/FB=3/2

∴AF:FB=3:2

(2)

  △AFGと△ABCの底辺の比は、(1)の結果より、

 AF:AB=3:(3+2)=3:5

∴AF/AB=3/5・・・①

 高さの比は、FG:FCになる。

 メネラウスの定理より、

 (CG/GF)(FB/BA)(AE/EC)=1

 (1)の結果より、FB:BA=2:(2+3)=2:5=2/5

∴(CG/GF)(2/5)(3/4)=1

∴(CG/GF)(2/5)(3/4)=1

∴(CG/GF)(3/10)=1

∴CG/GF=10:3

∴FG:FC=3:(3+10)=3:13

∴FG/FC=3/13・・・②

 三角形の面積の公式S=(1/2)×(底辺)×(高さ)より、(三角形の面積)∝(底辺)×(高さ)から、

 △AFG:△ABC=AF×FG:AB×FC

=(AF×FG)/(AB×FC)

=(AF/AB)(FG/FC)・・・③

 ③に①②を代入して、

 △AFG/△ABC=(3/5)(3/13)=9/65

∴△ABC=(65/9)△AFG

∴△ABC=(65/9)×18[cm^2]

=130[cm^2]

(別解)

 △ABCの面積をSとすると、参考URLの「16.等高な三角形の面積比」より、

△ABC:△AFC=(3+2):3=5:3

∴S:△AFC=5:3

∴5△AFC=3S

∴△AFC=(3/5)S・・・④

同様にして、②から

△AFC:△AFG=13:3

∴3△AFC=13△AFG・・・⑤

これに④を代入して、

3*(3/5)S=13△AFG

∴S=(65/9)△AFG=(65/9)×18[cm^2]

∴S=130[cm^2]

※参考URL

●平面図形の基本性質の確認 ←16,17,18,32,33参照

http://izumi-math.jp/S_Yoshida/matome/sa_heimen.pdf

id:moon-fondu

遅くなってすいません(>_<)

理解できました!

ありがとうございます(^_^;)

2010/09/01 05:10:28
id:suppadv No.2

suppadv回答回数3552ベストアンサー獲得回数2682010/08/28 20:17:21

ポイント20pt

4

メネラウスの定理なので、

BC/AB × DF/CD × EA/EF=1

となって、BC/AB × 2/3 × 5/3=1

ここから、BC:AB=9:10

BD:DEは同様に、 3/2 × BD/DE × 19/9=1

ここから、BD:DE=6:19

5

チェバの定理なので、

FB/AF × DC/BD × EA/CE=1

FB/AF × 2/1 × 3/4=1

ここから、AF:FB=3:2


AFGが18cm2なので、FGBは底辺の比で12cm2

足して、AGBは30cm2

AGBとAGCの面積比はBD:BCと同じになるので、30cm2と60cm2になる

同様にBGCは40cm2

あわせると130cm2

こんな感じではいかがでしょうか

id:moon-fondu

ありがとうございます、理解できました!

2010/09/01 05:10:44
id:yam3104 No.3

三十四回答回数499ベストアンサー獲得回数252010/08/28 17:48:01

ポイント30pt

あらかじめ伝えておきますと、図は略します。


  • メネラウスの定理

メネラウスの定理より

CD/DF×EF/EA×AB/BC=1

定義よりCD:CF=3:2

当然、EA=EF+FAなので、EF:FA=3:2よりEF:EA=3:5

よって

CD/DF×EF/EA×AB/BC=3/2×3/5×AB/BC=1

AB/BC=10/9

AB:BC=10:9


同様に、メネラウスの定理より

ED/DB×BC/CA×FA/EF=1

CA=BC+CAなので、AB:BC=10:9よりBC:CA=9:19

よって

ED/DB×BC/CA×FA/EF=ED/DB×9/19×2/3=1

ED/DB=19/6

ED:DB=19:6


△BCDと△DEFの面積比について

点Fから、線分BCに平行になる線を引き、DEとの交点をGとする。

この時、△BCDと△DGFは相似であり、対応するのはCDとDF、BCとGF、BDとDGである(今回は証明略)

CD:CF=3:2より△BCD:△DGF=3^2:2^2=9:4

BD:DG=3:2、BD:ED=6:19よりBD:DG:ED=6:4:19

これより△DGF:△DEF=4:19

合わせて、△BCD:△DGF:△DEF=9:4:19

△BCD:△DEF=9:19


  • チェバの定理

(1)

チェバの定理より

BD/DC×CE/EA×AF/FB=1

定義よりBD:DC=1:2、CE:EA=4:3なので、

BD/DC×CE/EA×AF/FB=1/2×4/3×AF/FB=1

AF/FB=3/2

AF:FB=3:2


(2)

AF:FB=2:3、AB=AF+FBより、AF:AB=2:5なので、△AFG:△ABG=2:5

△ABG=△AFG×5/2=18×5/2=45(cm^2)

△ABG:△ABC=CG:GF

メネラウスの定理より

CG/GF×FB/AF×EA/CE=CG/GF×3/5×3/4=1

CG/GF=9:20

上記より△ABG:△ABC=9:20

△ABC=△ABG×20/9=45×20/9=100(cm^2)

<<

参考:http://club.pep.ne.jp/~asuzui/page11.html

id:moon-fondu

最後の問題だけ皆様の回答と違うみたいですが・・・理解できました、ありがとうございます!

2010/09/01 05:13:01
id:idss No.4

idss回答回数3ベストアンサー獲得回数02010/08/29 11:45:09

2で答えた方がいいと思います

  • id:yam3104
    ごめんなさい、最後の問題はrsc96074さんとsuppadvさんのが正解みたいです。
    数学からは遠ざかっていたのに、出しゃばってしまいました(汗)

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