1286642073 二項定理の証明問題に頭を悩ませておりまして・・・問題は、添付の画像をご覧いただければ幸いです。よろしくお願いします(>_<)

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  • 1人5回まで
  • 登録:2010/10/10 01:34:36
  • 終了:2010/10/12 06:24:43

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4399ベストアンサー獲得回数4032010/10/10 07:41:01

ポイント100pt

(1)

公式 nCk=n!/{(n-k)!k!}より、両辺にkをかけて、

k・[nCk]=k・n!/{(n-k)!k!}・・・①

①=n・(n-1)!/{(n-k)!(k-1)!}

ここで、p=n-1,q=k-1とおくと、p-q=n-kだから、

①=n・p!/{(p-q)!q!}

①=n・[pCq]

ここで、p,qをもとにもどすと、

①=n・[n-1Ck-1]

∴k・[nCk]=n・[n-1Ck-1]・・・②

(2)

 二項係数の性質も問題では、(1+x)^nの展開式にx=±1を代入するのが定石になっています。

 二項定理より、

(1+x)^n=[nC0]+[nC1]x+[nC2]x^2+・・・+[nCk]x^k+・・・+[nCn]x^n・・・③

③で、x=1とおくと、

2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]・・・④ ←準公式

この公式は、nに関する恒等式になっているので、nの代わりに、n-1を代入しても成り立つ。

2^(n-1)=[n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1]・・・⑤

 これで準備が整ったので、②の結果と⑤の結果を使って、等式を証明していきます。

②から、問題の等式の左辺の各項ごとに変形すると、

1・[nC1]=n・[n-1C0], 2・[nC2]=n・[n-1C1], 3・[nC3]=n・[n-1C2], ・・・, n・[nCn]=n・[n-1Cn-1]

よって、

lhs(左辺)=n・[n-1C0]+n・[n-1C1]+n・[n-1C2]+・・・+n・[n-1Cn-1]

=n([n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1])・・・⑥

⑥に⑤を代入して、

lhs=n・2^(n-1)=rhs(右辺)

※参考URL

●組合せ

>nCr=n!/{(n-r)!r!}

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/s1combi1.htm

●組合せ (数学)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E3%81%9B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)

●二項定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%8...

id:moon-fondu

ありがとうございます!

でもすいません、ちょっといきなり疑問に思うことがありまして・・・

--------------

k・[nCk]=k・n!/{(n-k)!k!}・・・①

①=n・(n-1)!/{(n-k)!(k-1)!}

--------------

となるのは、どうしてなのでしょうか?①がいきなり「n・(n-1)!/{(n-k)!(k-1)!}」になる理由が理解できませんでして・・・ご紹介いただいたリンク先も拝見したのですが・・・度々すいません。

もしよろしければ、再度ご回答いただければ幸いです。

よろしくお願いします<m(__)m>

2010/10/10 09:40:51

その他の回答(6件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4399ベストアンサー獲得回数4032010/10/10 07:41:01ここでベストアンサー

ポイント100pt

(1)

公式 nCk=n!/{(n-k)!k!}より、両辺にkをかけて、

k・[nCk]=k・n!/{(n-k)!k!}・・・①

①=n・(n-1)!/{(n-k)!(k-1)!}

ここで、p=n-1,q=k-1とおくと、p-q=n-kだから、

①=n・p!/{(p-q)!q!}

①=n・[pCq]

ここで、p,qをもとにもどすと、

①=n・[n-1Ck-1]

∴k・[nCk]=n・[n-1Ck-1]・・・②

(2)

 二項係数の性質も問題では、(1+x)^nの展開式にx=±1を代入するのが定石になっています。

 二項定理より、

(1+x)^n=[nC0]+[nC1]x+[nC2]x^2+・・・+[nCk]x^k+・・・+[nCn]x^n・・・③

③で、x=1とおくと、

2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]・・・④ ←準公式

この公式は、nに関する恒等式になっているので、nの代わりに、n-1を代入しても成り立つ。

2^(n-1)=[n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1]・・・⑤

 これで準備が整ったので、②の結果と⑤の結果を使って、等式を証明していきます。

②から、問題の等式の左辺の各項ごとに変形すると、

1・[nC1]=n・[n-1C0], 2・[nC2]=n・[n-1C1], 3・[nC3]=n・[n-1C2], ・・・, n・[nCn]=n・[n-1Cn-1]

よって、

lhs(左辺)=n・[n-1C0]+n・[n-1C1]+n・[n-1C2]+・・・+n・[n-1Cn-1]

=n([n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1])・・・⑥

⑥に⑤を代入して、

lhs=n・2^(n-1)=rhs(右辺)

※参考URL

●組合せ

>nCr=n!/{(n-r)!r!}

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/s1combi1.htm

●組合せ (数学)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E3%81%9B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)

●二項定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%8...

id:moon-fondu

ありがとうございます!

でもすいません、ちょっといきなり疑問に思うことがありまして・・・

--------------

k・[nCk]=k・n!/{(n-k)!k!}・・・①

①=n・(n-1)!/{(n-k)!(k-1)!}

--------------

となるのは、どうしてなのでしょうか?①がいきなり「n・(n-1)!/{(n-k)!(k-1)!}」になる理由が理解できませんでして・・・ご紹介いただいたリンク先も拝見したのですが・・・度々すいません。

もしよろしければ、再度ご回答いただければ幸いです。

よろしくお願いします<m(__)m>

2010/10/10 09:40:51
id:Hyperion64 No.2

Hyperion64回答回数791ベストアンサー獲得回数842010/10/10 09:22:46

ポイント20pt

こんな感じかと。

(1)定義より

    k*nCk=k*n!/(n-k)!/k!=n!/(n-k)!/(k-1)!=

     n*(n-1)!/(n-k)!/(k-1)!=n*(n-1)!/(n-1-k+1)!/(k-1)!=n*n-1Ck-1

(2)与式に上記の置換えを代入すると

nC1+2*nC2+....+n*nCn=n*n-1C0+n*n-1C1+n*n-1C2+.......+n*n-1Cn-1

=n*(n-1C0+n-1C1+n-1C2+.......+n-1Cn-1)=n*2^(n-1)

ここで次式を使った。^は指数を意味する。

  2^s=(1+1)^s=sC0+sC1+sC2+......+sCs

id:moon-fondu

ありがとうございます!

2010/10/12 06:23:43
id:asd-f No.3

わか☆☆回答回数15ベストアンサー獲得回数02010/10/10 10:37:15

詳しく言ってください

id:asd-f No.4

わか☆☆回答回数15ベストアンサー獲得回数02010/10/10 12:49:41

詳しくお願いします

id:asd-f No.7

わか☆☆回答回数15ベストアンサー獲得回数02010/10/10 22:00:28

漢字で詳しく

  • id:rsc96074
    >k・[nCk]=k・n!/{(n-k)!k!}・・・①
    >①=n・(n-1)!/{(n-k)!(k-1)!}
    1!=1
    2!=2*1
    3!=3*2*1



    (n-1)!=(n-1)*(n-2)・・・*3*2*1
    n!=n*(n-1)*(n-2)・・・*3*2*1=n*(n-1)!・・・(A)
    k!=k*(k-1)*(k-2)・・・*3*2*1=k*(k-1)!
     kについては、分母子をkで約分して、
     nについては、(A)式のように、分けて書いてあるだけです。
    ●階乗
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97

  • id:moon-fondu
    rsc96074さんありがとうございます、理解できました!
    ただ恒等式について、少し疑問が残りまして。

    -----------------------------
    2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]・・・④
    この公式は、nに関する恒等式になっているので、nの代わりに、n-1を代入しても成り立つ。
    2^(n-1)=[n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1]・・・⑤
    -----------------------------

    を証明することは、可能でしょうか?
    2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]
    が、全てのnについて成り立つことを証明したいのですが・・・もしよろしければ、新たな質問を
    http://q.hatena.ne.jp/1286832691
    に立ち上げましたので、ご回答いただければ嬉しいです。
    よろしくお願いします(>_<)
  • id:rsc96074
     やはり、式が見にくいかなと思って、ダイアリーに書き直してみました。
    http://d.hatena.ne.jp/rsc96074/20101012
    >ただ恒等式について、少し疑問が残りまして。
     乗法公式、数列の和の公式など、そういった類の公式は、みんな恒等式かと思っていました。(^_^;
    そこまで深く考えたことがなかったので、どうなんでしょう。ちょっと言い過ぎになるのかな。(^_^;
  • id:kuro-yo
    定義域が明示されてさえいれば、その範囲で恒等式と言って構わないと思いますが、いかがでしょう。
  • id:moon-fondu
    >rsc96074さん
    ありがとうございます、ダイアリーにまで書いていただけるなんて(>_<)
    すいません、ちょっと私も考えすぎだったみたいかもです・・・。

    >kuro-yoさん
    定義域は、nのことですよね?
    nの定義域について、特に明示されていない問題でして・・・。問題が悪いんですかね?
  • id:kuro-yo
    > nの定義域について、特に明示されていない問題でして・・・。問題が悪いんですかね?

    うーん、少なくとも高校数学では、
    コンビネーションnCrは、n,rがともに非負整数の場合しか考えませんので、
    その意味では(暗黙の了解として)、nの定義域は非負整数、でいいと思います。

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