2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]


が、全てのnについて成り立つことを証明したいです。

数学的帰納法がいいのでしょうか?どんな方法があるかについては詳しくないのですが・・・また、「全てのn」と記載してしまいましたが、nは実数、自然数、整数、虚数等、いろいろな場合があると思います。

2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]

は、どの数のnだったら成立し、どの数のnだったら成立しないかについても、疑問に思いまして。

よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2010/10/12 06:31:32
  • 終了:2010/10/15 03:58:32

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4394ベストアンサー獲得回数4022010/10/12 10:42:29

ポイント100pt

 あれはちょっとまずい表現だったかも知れませんね。(^_^;

 2冊の公式集で確認してみましたが、二項定理は、正の整数=自然数で成り立つようです。

 二項定理の証明は、下記URLにもあるようです。

 二項定理でa=b=1とおくか、(1+x)^nの展開式でx=1とおくと、問題の等式が簡単に得られます。二項定理をベースにしているので、問題の等式も、適用条件は、同様になるものと思われます。

 nが自然数とすれば、n=1のとき、n-1は、0になってしまいますが、その場合でも、

 lhs=2^0=1

 rhs=[0C0]=1

となって、成り立つようです。

●二項定理

>■二項定理の導出

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suuretu/suuretu/henka...

※参考URL

http://d.hatena.ne.jp/rsc96074/20101012 ←前問のまとめ参照

●[PDF] 第15章 確率・統計

>p.496

http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/ch_15.pdf

●公式集 (モノグラフ) [単行本] 矢野 健太郎, 春日 正文

公式集 (モノグラフ)

公式集 (モノグラフ)

  • 作者: 矢野 健太郎 春日 正文
  • 出版社/メーカー: 科学新興新社
  • メディア: 単行本

●数学用語小辞典 (ブルーバックス (B-1113)) [新書] クリストファー・クラファム (著), 芹沢 正三 (翻訳)

数学用語小辞典 (ブルーバックス (B-1113))

数学用語小辞典 (ブルーバックス (B-1113))

  • 作者: クリストファー・クラファム
  • 出版社/メーカー: 講談社
  • メディア: 新書

id:moon-fondu

ありがとうございます、リンク先、全て拝見させていただきました!

でもやっぱり、

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]・・・④ ←準公式

この公式は、nに関する恒等式になっているので、nの代わりに、n-1を代入しても成り立つ。

2^(n-1)=[n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1]・・・⑤

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

という部分が、疑問に残りまして・・・rsc96074さんが教えてくださった、二項定理の説明に関するページで、

nCr=nCn-r

および、pdf資料の496pにも記載されている、

nCk=nCn-k

については、理解できました。どちらも同じものですよね。

でも、「[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]=Σ[r=0→n]nCr=2^nが成り立つ時、[n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1]=Σ[r=0→n-1]n-1Cr=2^(n-1)も成り立つ」ことについては、まだ理解できませんでして・・・度々申し訳ないのですが、もしよろしければ、再度お答えいただけると嬉しいです。

よろしくお願いします(>_<)

2010/10/13 23:32:56

その他の回答(3件)

id:Silvanus No.1

Silvanus回答回数174ベストアンサー獲得回数672010/10/12 08:12:34

ポイント20pt

数式での証明は、数学が得意などなたかにお任せするとして、

公式が示している意味そのものは何も難しくありません。

---

---

「n個からk個を取り出す」ということ(図A)は、図Bの様に

2分岐が連なった道を通る際に「(取る)をk回通過する」ということに相当します。

nC0+nC1+…+nCnの総和は結局、これらの2分岐の道順の総数になります。

つまり2^nになる訳です。

しかし、nは0か自然数でないとダメだと思うんですけど、違うんでしょうか…。

id:moon-fondu

ありがとうございます!

二項定理の公式が示している意味については、なんとなくわかったのですが、前回の質問

http://q.hatena.ne.jp/1286642073

で、

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]

が成り立つとき、

2^(n-1)=[n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1]

も成り立つ。

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

理由についてが、よくわからなかったのです・・・すいません、私の質問が悪かったです(>_<)

2010/10/13 23:23:13
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4394ベストアンサー獲得回数4022010/10/12 10:42:29ここでベストアンサー

ポイント100pt

 あれはちょっとまずい表現だったかも知れませんね。(^_^;

 2冊の公式集で確認してみましたが、二項定理は、正の整数=自然数で成り立つようです。

 二項定理の証明は、下記URLにもあるようです。

 二項定理でa=b=1とおくか、(1+x)^nの展開式でx=1とおくと、問題の等式が簡単に得られます。二項定理をベースにしているので、問題の等式も、適用条件は、同様になるものと思われます。

 nが自然数とすれば、n=1のとき、n-1は、0になってしまいますが、その場合でも、

 lhs=2^0=1

 rhs=[0C0]=1

となって、成り立つようです。

●二項定理

>■二項定理の導出

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suuretu/suuretu/henka...

※参考URL

http://d.hatena.ne.jp/rsc96074/20101012 ←前問のまとめ参照

●[PDF] 第15章 確率・統計

>p.496

http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/ch_15.pdf

●公式集 (モノグラフ) [単行本] 矢野 健太郎, 春日 正文

公式集 (モノグラフ)

公式集 (モノグラフ)

  • 作者: 矢野 健太郎 春日 正文
  • 出版社/メーカー: 科学新興新社
  • メディア: 単行本

●数学用語小辞典 (ブルーバックス (B-1113)) [新書] クリストファー・クラファム (著), 芹沢 正三 (翻訳)

数学用語小辞典 (ブルーバックス (B-1113))

数学用語小辞典 (ブルーバックス (B-1113))

  • 作者: クリストファー・クラファム
  • 出版社/メーカー: 講談社
  • メディア: 新書

id:moon-fondu

ありがとうございます、リンク先、全て拝見させていただきました!

でもやっぱり、

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]・・・④ ←準公式

この公式は、nに関する恒等式になっているので、nの代わりに、n-1を代入しても成り立つ。

2^(n-1)=[n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1]・・・⑤

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

という部分が、疑問に残りまして・・・rsc96074さんが教えてくださった、二項定理の説明に関するページで、

nCr=nCn-r

および、pdf資料の496pにも記載されている、

nCk=nCn-k

については、理解できました。どちらも同じものですよね。

でも、「[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]=Σ[r=0→n]nCr=2^nが成り立つ時、[n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1]=Σ[r=0→n-1]n-1Cr=2^(n-1)も成り立つ」ことについては、まだ理解できませんでして・・・度々申し訳ないのですが、もしよろしければ、再度お答えいただけると嬉しいです。

よろしくお願いします(>_<)

2010/10/13 23:32:56
id:bnn No.3

bnn回答回数65ベストアンサー獲得回数182010/10/12 10:42:56

ポイント5pt

パスカルの三角形のn段目の合計が2n-1になるというやつです。

(x+y)n = Σnk=0 (nCk)xn-kyk

この場合はx=y=1を使います。


ここを参考に

三角形のn段目、左からk番目の数字は n-1Ck-1で表せて、ページ中間部のaiの部分に使います。

id:moon-fondu

パスカルの三角形を一般的な数式で表したのが二項定理だと思うのですが、「Σ[r=0→n]nCr=2^n」と、「Σ[r=0→n-1]n-1Cr=2^(n-1)」は、「二項定理同士の関係」なような気がします・・・私自身、まだよく理解できていませんが(>_<)

パスカルの三角形で、「2^nが成り立つとき、2^(n-1)も成り立つこと」は、言えるのでしょうか?

2010/10/13 23:39:48
id:YAMADAMAY No.4

やまだまや(真優)回答回数171ベストアンサー獲得回数122010/10/14 21:31:05

ポイント10pt

2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]

(a+b)^n=[nC0]*a^n+[nC1]*a^(n-1)*b+[nC2]*a^(n-2)*b^2+・・・+[nCk]*a^(n-k)*b^k+・・・+[nCn]*b^nの係数のみを合計した式に他なりませんので

a=1;b=1を代入すれば(1+1)^n=2^nとなり数学的帰納法を使わなくても簡単に(直感的に)分かります。

但し(a+b)^nや2^nの時のnは実数はおろか複素数まで拡張しても成り立ちますが、二項係数([nCk])は使えません。

id:moon-fondu

rsc96074さんがアップしてくださった方法ですね!

http://d.hatena.ne.jp/rsc96074/20101012

でも、a=1,b=1を代入することに必然性がないというか、「二項定理が成り立つのはnが自然数のとき」ということの証明にはならないと思うのですが・・・。

直感的ではなく、実際に問題に出された時、どういう風に記述すれば正解をいただけるか悩んでおりましたので・・・(^_^;)

二項係数([nCk])が使えない理由も気になりますので、また別の機会に質問したいと思います!

2010/10/15 03:57:22
  • id:Silvanus
    「nが0か自然数じゃないといけないのでは…」って書いたのは、
    Combination/Permutationの定義からして
    「小数、ましてや虚数なんて考えられへんのとちゃうのん?」
    という素人の印象に過ぎないので、それ以上の根拠は何もありません…(恥)。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/10/13 19:26:11
    Silvanusさんのコメント「nが0か自然数じゃないといけないのでは…」に有る通り、右辺の単項式[nCk]は定義からn,kは0か正整数(自然数)の値以外は取れません。従って式全体はSilvanusさんの言われる事は正しいです。
  • id:kuro-yo
    id:rsc96074さんあたりが回答に書いていそうですが、

    > 右辺の単項式[nCk]は定義からn,kは0か正整数(自然数)の値以外は取れません。

    必ずしもそうと言い切れないようです。
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E3%81%9B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
    > n や m が非負整数以外の場合にも拡張して用いられる。
    > この展開は n が非負整数ならば m は n まで増えたところでそれ以降の係数が 0 になって止まるが、
    > 一般の二項展開では止まらずに m は無限大までとる。
  • id:rsc96074
     恒等式はちょっと言い過ぎだったかも知れません。(^_^;
    「nの代わりに、n-1を代入しても成り立つ。」の部分ですが、定理の適用条件が、「n=1,2,3,・ ・ ・」と自然数になっているので、nが自然数ならば、n-1も自然数だろうということです。ただし、n=1のとき、n-1=0となって、自然数ではないので、厳密には、n≧2のとき、n-1も自然数だから使える。また、n=1のときは、元の式に帰って、成り立つことを示す必要があると思います。しかし、いくつか参考書を見てみましたが、ことわりなしに代入しているようです。
     元の問題は、おそらく、高校か大学の教養レベルの問題で、問題中でnが[nCr]として使われているので、0≦r≦nの整数を考えれば十分なのでしょうが、下記URLのようにnが負のときも成り立つ場合もあるようです。
    ●[PDF] 1 はじめに 2 2項定理
    >定理2.1 (2項定理). n = 1, 2, 3, ・ ・ ・ に対して、次の式が成り立つ.
    >定理4.1 (一般化された2項定理). n を有理数とすると、-1 < x < 1 に対して次の式が成り立つ.
    http://www.mi.s.osakafu-u.ac.jp/lec/och/index.pdf

  • id:rsc96074
     ちなみに、紹介したモノグラフ公式集ですが、私が買ったときは、¥750-でした。今では倍近くになっているようです。世間はデフレで物価が下がっているのになぜか本だけは高くなっています。(^_^;
  • id:moon-fondu
    皆様、コメントありがとうございます!
    Silvanusさん、YAMADAMAYさんは、二項定理が成り立つのは、nは自然数か0のとき。
    kuro-yoさん、rsc96074さんは、例外も示していただきました。

    nが負のときの二項定理は難しそうですね・・・とりあえず高校の教科書に則り、「二項定理が成り立つのはnが自然数のとき。nが自然数(かつn≧2)のとき、n-1も自然数なので、n-1のときも二項定理は成り立つ」と理解しておきます!
  • id:moon-fondu
    >rsc96074さん
    そうなんですね・・・1500円は高いです!
    図書館で探してみます(^_^;)
  • id:Silvanus
    rsc96074さんが紹介されたPDFの中にあった
    拡張された二項定理の話、興味深く拝読いたしました!
    この様なことは露にも考えたこともありませんでした。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/10/15 22:50:14
    1>rsc96074さんがアップしてくださった方法ですね!
    >>すみませんでした。私の回答した事は全てrsc96074さんや他の回答者さんの回答の中に含まれていたことを、後から気がつきました。

    2>でも、a=1,b=1を代入することに必然性がないというか、「二項定理が成り立つのはnが自然数のとき」ということの証明にはならないと思うのですが・・・直感的ではなく、・・・。
    >>必然性がが証明されなければ「証明にならない」というのは・・・偶然思いついた方法が、「こうすれば自明ではないか」は証明にはならないでしょうか。オイラーが「ケーニヒスベルグの橋」の問題=(オイラーグラフ)を「一筆書き」と同値として解いた方法のように(勿論偶然の発見ではないでしょうが)・・・世界史上最大の数学者であるオイラーとおいら(私)は「天と地」以上の差が有りますが、「発見が先でその厳密な証明は後」と言うことも数学や科学では「あり」なんではないでしょうか。

    3>二項係数([nCk])が使えない理由も気になりますので、
    >> 〔n〕が問題でなく〔k〕が0及び自然数しか許してないからだとおもいます。
    たとえば 0または1つの岩石を粉々にしてその破片を数えろ!となれば、0若しくは自然数個にならざるをえないでしょう。原子の大きさでもクォークを構成する物質の破片でも1個と徹底的に数えるならば。・・・無限個は許されない。
    >> nが有理数、実数、虚数になるとき・・・
    項数が無限に続く展開までは考慮しませんでした。

    余計なことを書きましたが、最後にもう一つ余計なことですが
    質問形式は3^n=[nC0]*[nC0]+[nC1]*[nC0]+[nC1]*[nC1]+[nC2]*[nC0]+[nC2]*[nC1]+[nC2]*[nC2]+[nC3]*[nC0]+・・・+[nCk]*[nC0]+[nCk]*[nC1]+++[nCk]*[nCk]+・・・+[nCn]*[nC0]+++[nCn]*[nCn]でも(a+b+c)^n=をa=b=c=1にすれば、
    また(a+b+c+・・・)^n=をa=b=c=・・・=1にすれば事情は同じになります。

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