携帯電話の回線を使ってFAXの送受信ができるようにしたいと希望しております。

結論から言いますと、現在の携帯電話の通信方式では、ご希望の方法での通信はできません。

FAXが使用している音声帯域信号を、携帯電話のイヤホン・マイク端子に接続して通信する方式を、通信の世界では「みなし音声方式」と言います。

自動車・携帯電話の歴史では、通信方式の変遷によって以下のように分類されています。

・1G（第1世代）：FDMA（アナログ式）、自動車電話開始から1990年代後半までの方式。

・2G（第2世代）：TDMA（デジタル式）、ドコモでは現在movaと呼ばれるもの。2012年で終了。

・3G（第3世代）：CDMA（デジタル式）、ドコモでは現在FOMAと呼ばれるもの。

FDMA

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%A8%E6%B3%A2%E6%95%B0%E5%88%8...

TDMA

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%82%E5%88%86%E5%89%B2%E5%A4%9...

CDMA

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%A6%E5%8F%B7%E5%88%86%E5%89%B...

アナログ時代やPHSは、みなし音声方式でFAX通信が行われており、実際に携帯電話に接続して使用するFAXが市販されていました。

アナログ式の音声変調方式はFM（周波数変調）で、現在のFM放送やアナログTV放送の音声と基本的に同じです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%A8%E6%B3%A2%E6%95%B0%E5%A4%8...

固定電話より帯域が狭いため、時間はかかりますがFAXの音声帯域信号を送受信可能です。

デジタル式の通信では変調のかわりに「符号化」という言い方をします。

符号化方式を「コーデック」という場合もあります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%8...

PHSの通信はデジタルですが、コーデックは「ADPCM」という方式を採用しています。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%A9%E5%BF%9C%E7%9A%84%E5%B7%A...

この方式では、元の音声を忠実に符号化するため、安定した電波状況ならFAXの音声帯域信号を乗せてもほぼ正常に送受信が可能です。

デジタル式の携帯電話では、コーデックは「AMR」という方式を採用しています。

http://ja.wikipedia.org/wiki/Adaptive_Multi-Rate

この方式では効率よく音声を伝送するため、不可逆圧縮（完全には元の信号には復元できない圧縮）や、パターン化（あらかじめ決められたパターンから元の信号に近いパターンを当てはめる）を行っています。

そのため復調されたFAX信号はなまってしまい、正常にFAX通信を行うことは不可能なのです。

実際に実験して、使用できないことを確かめた方もいらっしゃるようです。

http://oshiete.dakko.jp/qa2506733.html

同じような理由で、IP電話網でもFAX通信ができない場合が多いようです。

http://www2j.biglobe.ne.jp/~ClearTK/atm_fr/m040124.htm