【問1】円周14cmの円が100個入る長方形のうち、最小のものを求めなさい。【問2】問1で求めた長方形に、円周16cmの円は最大でいくつ入るか求めなさい。

(仕事でダンボール箱に筒状にしたカレンダーを詰めている最中に思い浮かんだ疑問です。質問文がいまいちかもしれませんが、意図を読み取って(笑)回答していただけると助かります。)

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2010/11/16 18:54:10
  • 終了:2010/11/23 18:55:03

ベストアンサー

id:ita No.2

ita回答回数204ベストアンサー獲得回数482010/11/17 22:41:37

ポイント30pt

横幅を固定して、縦をだんだん縮めていった場合に半径1の円を100個入れられる限界をいろいろな幅について最適化問題として近似的に解いてみました。生データを最後に付けておきます。小数点以下2桁のデータはもっと小さくなる可能性があります。小数点以下ずっとあるやつはきっちり詰められて理論限界が分かっているものです。

これらの中で、周囲の長さが最小になるのはRed-Cometさんの計算された 21x17.5884572681199、面積最小はtakejinさん御指摘の通り 41x8.92820323027551 の場合のようです。

幅21の周囲最小の場合に半径16/14の円は最大73個、

f:id:ita:20101117220222p:image

幅41の面積最小の場合に半径16/14の円は最大71個入りました。

f:id:ita:20101117220224p:image

ちなみに正方形に限定すると19.5x19.5まで小さくできました。

f:id:ita:20101117223603p:image

この大きさで半径16/14の円は最大74個入ります。

f:id:ita:20101117223602p:image


# 幅 x 高さ
20.0 19.2
#10 layer
21.0 17.5884572681199
22.0 17.41
23.0 16.58
24.0 15.74
25.0 15.37
#8 layer
26.0 14.1243556529821
27.0 13.96
28.0 13.7
29.0 13.31
30.0 12.38
31.0 12.22
32.0 11.99
33.0 11.77
34.0 10.928203
35.0 10.64
36.0 10.53
37.0 10.37
38.0 10.21
39.0 10.00
40.0 9.73
# 5layer
41.0 8.92820323027551
42.0 8.87
# 4layer
51.0 7.19615242270663

その他の回答(2件)

id:Newswirl No.1

Newswirl回答回数210ベストアンサー獲得回数242010/11/16 23:08:22

ポイント30pt

エクセルでやってみました。

円周14cmの直径は14cm÷πの4.456338cmです。

 

そこで、A列に1から100までの番号を振ります。これは長方形の縦の円周14cmの円の個数になります。

B列には、A列の番号分の直径の長さ(長方形の縦の長さ)を与えて、C列には100個をA列の円の個数で割り、小数点未満の数を切り捨てた数に直径の長さ(横の長さ)を掛けます。

すなわち、B列とC列の積はA列に依らず、同じ"最小の長方形の面積"が与えられるわけです。

 

さらに、D列にB列の縦の長さを円周16cmの直径にあたる5.092958cmで割った数の小数点未満を切り捨てた数値を与えて、

同様にして、E列にC列の横の長さを5.092958cmで割り、切り捨てます。

F列は、D列とE列の積を与えます。これが円周16cmの円の入る円の個数になります。

 

円周14cmの円が縦に7個か14個あるとき、円周16cmの円の個数は最大になります。

その数は、Red-Cometさんの仰るとおり72個となります。

id:Red-Comet

すごい! 書いてある内容のほとんどがまだ理解できないけどとにかくすごいです!

理論と現実が一致した瞬間ですね・・・。

2010/11/16 23:16:47
id:ita No.2

ita回答回数204ベストアンサー獲得回数482010/11/17 22:41:37ここでベストアンサー

ポイント30pt

横幅を固定して、縦をだんだん縮めていった場合に半径1の円を100個入れられる限界をいろいろな幅について最適化問題として近似的に解いてみました。生データを最後に付けておきます。小数点以下2桁のデータはもっと小さくなる可能性があります。小数点以下ずっとあるやつはきっちり詰められて理論限界が分かっているものです。

これらの中で、周囲の長さが最小になるのはRed-Cometさんの計算された 21x17.5884572681199、面積最小はtakejinさん御指摘の通り 41x8.92820323027551 の場合のようです。

幅21の周囲最小の場合に半径16/14の円は最大73個、

f:id:ita:20101117220222p:image

幅41の面積最小の場合に半径16/14の円は最大71個入りました。

f:id:ita:20101117220224p:image

ちなみに正方形に限定すると19.5x19.5まで小さくできました。

f:id:ita:20101117223603p:image

この大きさで半径16/14の円は最大74個入ります。

f:id:ita:20101117223602p:image


# 幅 x 高さ
20.0 19.2
#10 layer
21.0 17.5884572681199
22.0 17.41
23.0 16.58
24.0 15.74
25.0 15.37
#8 layer
26.0 14.1243556529821
27.0 13.96
28.0 13.7
29.0 13.31
30.0 12.38
31.0 12.22
32.0 11.99
33.0 11.77
34.0 10.928203
35.0 10.64
36.0 10.53
37.0 10.37
38.0 10.21
39.0 10.00
40.0 9.73
# 5layer
41.0 8.92820323027551
42.0 8.87
# 4layer
51.0 7.19615242270663
id:takejin No.3

たけじん回答回数1482ベストアンサー獲得回数1922010/11/17 23:25:19

ポイント20pt

5列の続きです。

縦 19.89cm 横 91.35cm で最小面積です。

ここに、周囲16cmの円がいくつ入るかです。

直径 5.093cm です。まず横に何個入るかですが、

91.35/5.093=17.936

惜しい、18個は並ばない。17個

縦には、

19.89/5.093=3.905

こっちも惜しい、4個並ばない。3列

では、半分ずらして

17.5個*5.093=89.1275 収まる

4列で、

(1+√3/2*3)*5.093=18.33 収まる

17*4=68個

隙間がありますが、後一個分にはならなそうです。

この長方形では、微妙な直径の増加を吸収できないので、16cmに対しては68個といったところでしょう。

  • id:ita
    Optimizing the packing of cylinders into a rectangular container: a nonlinear approach
    http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0377221703004995
  • id:ita
    実際には多少潰れて円からずれて六角形に近い形になるだろうから、理論値より若干多く入りそうですね。
    完全につぶれて六角形になって蜂の巣みたいになるのが最密
  • id:Newswirl
    ブログで書かれているように、円と円の間に2列目の円を入れれば、円のままでも72個以上入るかもしれません。
    長方形なので対角線の長さは等しくなければいけませんが・・・。
  • id:windofjuly
    うぃんど 2010/11/17 00:36:17
    ダイアリーのほうを読んでなかった(無念)
     
    14cmを入れたときに隙間がまったく無いと仮定したとしても16cmでは若干の隙間がある(三平方の定理による計算は隣接する2つの円と接している場合の数値であって、現実には隣接している2つの円との間に隙間が発生している箇所があり、縦もしくは横に必要な幅がちがってくる)ので、そこを埋める形でずらすことによって(9+9)x4=72相当になったというだけの話ですね
  • id:Silvanus
    正答を導き出せる訳ではないので偉そうなことは言えませんが、
    少なくともNewswirlさんのご回答程話が単純で無いのは確かです。
    上でitaさんが引用&仰せの様に、円を斜めにずらして積む場合も
    考えなければならないからです。例えば、
    http://rct3jp.info/hatena/hatena-RedComet-101116.png
    という感じに並べた場合、円の直径をdとすると
    横幅が10.5d、縦が{4.5*sqrt(3)+1}dとなります。
    dに14/piを代入し、無理数に近似値を入れて計算すると
    横幅が約46.79、縦が約39.19、面積は約1833.7となります。
    その場合、16cmの円が何個入るかについては難しそうなので考えないことにします(汗)。
    itaさんが引用されているEuropean Journal of Operational Researchの
    論文をさっと眺めて諦めました…(GENPACKのアルゴリズムをコード化する意欲が不足)。
    ところで、Newswirlさんの回答中に幾度か出て来る「小数点未満を切り捨て」というのは
    「切り上げ」の間違いではないのですか?
    切り捨ててしまったら、円が入らなくなると思うのですが…。
  • id:Silvanus
    うぐっ、私もダイアリーみてませんでした…。
  • id:Red-Comet
    あっ! ダイアリの方は読まないで結構です(汗
    正しいかどうかも微妙なので・・・。
  • id:takejin
    直交する格子点に配置する場合と、正三角形を最小単位とする配置とで場合分けが必要です。
    つまり、偶数列が半分ずれてる配置です。こちらの方が、円と円の間の隙間が少なくなります。
    が、枠との隙間が大きくなるので、細かく計算しないと結果が出ませんね。
    5列で考えた場合に、
    横:(20+0.5)*d
    縦:(1+4*√3/2)*d
    d=14/π
    面積≒1817.4
    これが最小のようです。
    ここに、16cmの円を入れるのは、またあとで。
  • id:Red-Comet
    >takejinさん
    五列で最小面積になるとは!
    問2ができましたら是非ともコメントではなく回答の方にお願いします(^-^)/
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/11/17 12:33:25
    今回の質問に関係ないかもしれませんが、「長方形のうち、最小のもの」って、周長ですか?面積ですか?、それとも物を入れる場合ならば、全表面積が問題になる事も。
    恐らく、いらないお世話だとおもいますが。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/11/17 12:47:04
    つまらん意見を言いますが多少?(完全に)つぶれても良いならば正方形まで変形させるか、ペタンコにするのが細密だとおもいますが。(見る影も無いのはNGですよね)itaさんすみません。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/11/17 12:52:40
    誤:細密==>正:最密 でした。誤変換すみません。
  • id:Red-Comet
    >YAMADAMAYさん
    思考実験なのでどちらでも結構ですが、16cmの円がいっぱい入った方が答えとしては優秀かと思います(^^)
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/11/17 15:25:14
    すみません、本題を無視したコメントを書きまして。
  • id:asukou
    1500-2000のあいだ
  • id:imo758
    回答ではないのですが
    http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/
    というサイトは円充填の奥深さを見せてくれます。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/11/17 23:53:43
    勘違いならばすみません。条件として100入れるとして(7*14=98で不足)(周長14cmの円)の直径を4.45として
    たて(横)x横(たて)が7個X15ならば4周長195.8 面積2079.26
    たて(横)x横(たて)が8個X14ならば4周長195.8 面積2277.88
    確かにこれでは周長16cmの円は72個入るだろうと思いますが。
    たてx横 10x10個の正方形ならば、4周長=44.5*4=178cm、面積=44.5*44.5=1980.25でこちらの方が面積、4周長とも小さいし、周長16cmの円は8*8+7+7=78個はいりますが。どうでしょう?
  • id:Red-Comet
    >imo758 さん
    うう、面白い!
    四角と円、単純にして相いれない二つの図形を組み合わせることで、なんともいえない魅力が引き出されていますよね。

    >YAMADAMAY さん
    何度もコメントありがとうございます。
    格子状に並べた場合、四隅の隙間が大きすぎてダメそうです。
    もし格子状に並べて100本入る正方形のダンボール箱があってその通りに入れたとしても、ちょっとの振動でズレて隙間が空いて100本以上入ることになるでしょうね。
  • id:takejin
    itaさんすげぇぇ。円を並べ始めるときりがないのでやめました。
    CADと3D解析に投げ込むとかね。バラバラの円柱を最大配置なんて、解析的には解けないですね。

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