確率という概念に関する質問です。

試行を繰り返せば統計的確率は理論的確率に近づくといういわゆる大数の法則と、
例えばコイン投げを100回して100回連続で「表」が出たあとでも、
次の試行で「表」が出る確率も、「裏」が出る確率もともに1/2である、
という一見矛盾する二つの命題がなぜ矛盾しないのか?ということを何年も考えているのですが未だにわかりません。
教えて下さい

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  • 1人2回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2010/11/18 08:32:55
  • 終了:2010/11/23 19:30:27

ベストアンサー

id:ku__ra__ge No.5

ku__ra__ge回答回数118ベストアンサー獲得回数402010/11/18 13:08:05

ポイント30pt

コメントで述べられている

100回試行した段階ですべてが「表」だったとしたら、

残りの9900回の試行では、

約100回ぐらいは「裏」の方が「表」よりたくさん出て、

お互いの確率が1/2に近づく

この考えを無意識のうちに真実であると仮定して論理を組み立てていることが、本来矛盾がないことに対して矛盾を感じる原因だと思います。


上の引用部分を「先に偏った結果が出ると後からそれが補填される現象」と呼ぶことにしましょう。


「先に偏った結果が出ると後からそれが補填される現象」と「それぞれの試行が独立事象であるということ」は、確かに矛盾しています。

しかし先に偏った結果が出ると後からそれが補填されるなんて現象は実際には起きませんし、なにより「大数の法則」は「先に偏った結果が出ると後からそれが補填される現象」を説明した言葉はありません。

よって前述の矛盾は、「大数の法則」と「それぞれの試行が独立事象であるということ」が矛盾するという考えの根拠にはなりません。


「大数の法則」を単に「試行を繰り返せば統計的確率は理論的確率に近づく」という意味だときちんと捉えれば、それが「一回一回の試行が独立事象である」と矛盾していないことが理解できるのではないでしょうか?

その他の回答(11件)

id:windofjuly No.1

うぃんど回答回数2625ベストアンサー獲得回数11492010/11/18 09:17:24

ポイント20pt

そこに矛盾は存在しません

 

例えとしては少々違うかもしれませんが「木を見て森を見ず」といったところでしょうか

あるいは「100回という数値が、それが実は極めて一部であるという事実を隠蔽してしまっている」と表すれば伝わるでしょうか

いずれにせよ、一種の数字マジックのようなものです

 

大数(無量大数の大数)まではいかないまでも沢山の試行のスタートの100回が偶然連続して表であったというだけの話です

 

確率の世界から言えば100回は大数の極めて一部でしかないということなのですが、

「人は目先にある判りやすい単位をモノサシにしてしまう」傾向にあるため、

100回という数値を「まるで全体であるかのごとくに錯覚を起こし」てしまい、お悩みのようなことになっています

 

もういちど繰り返しておきます「そこに矛盾は存在しません」

id:ragi-jun No.2

ragi-jun回答回数15ベストアンサー獲得回数02010/11/18 09:38:00

ポイント10pt

あなたが矛盾と感じている前提がすでに確率的に偏っているため、矛盾となると思われます。

大数の法則は確率的に同様に確からしい現象は(仮想的に)無限の試行において、理論的確率となるというものであって

前述の仮定をいうならば、

1.大数として十分でない試行の回数で大数の法則を用いている

2.コインの裏と表が出る確率が1/2ではない可能性がある

という2点については考察がなされているのでしょうか。

100回やって同じ面がでつづけることがないとは言いませんが(1/2の100乗=約1.2676506 × 10^30ですから1秒に10000回やっても宇宙誕生から今まで一回も起こらない程度ですが)100回続けて出る時点で確率的に同様に確からしいとはとても思えませんし、このあと9900回やって1万回の試行においては1/2になるかもしれないという確率は考慮に入っているのでしょうか。

自然科学における矛盾という言葉はとても厳密に扱われるべきです。

前提が偽なら結論はすべて真となるため前提を検証することで理解が深まると思います。

id:Baku7770 No.3

Baku7770回答回数2831ベストアンサー獲得回数1812010/11/18 10:25:10

ポイント5pt

 理論が違います。

 コインの「表」が出る確率も、「裏」が出る確率もともに1/2であるという前提でコイントスをやっている。

 コイントスを100回して100回連続で「表」が出たあとでも、次のトスで「表」が出る確率も、「裏」が出る確率もともに1/2であるとするのか、実はいかさまコインで「表」が出るコインを使っていたのか?

 10^30分の1しか起こらない珍しいことが起こり続けただけとするのは古典的確率論。その確率から1/2なのかを検証する確率論をベイズ確率論と言います。

http://www.kogures.com/hitoshi/webtext/stat-bayes/index.html

 

id:BLOG15

今回の質問とベイズ確率論とはあまり関係があるようには思えませんでした。

2010/11/18 21:25:27
id:inthegroove No.4

inthegroove回答回数768ベストアンサー獲得回数62010/11/18 11:18:48

ポイント5pt

100回連続で表が出たというのは結果であって、次にどっちが出るかというのは未来の話ですよね。

過去100回で表が出た確率は100%ですが、これから表が出る確率は1/2です。

土俵が違います。

id:ku__ra__ge No.5

ku__ra__ge回答回数118ベストアンサー獲得回数402010/11/18 13:08:05ここでベストアンサー

ポイント30pt

コメントで述べられている

100回試行した段階ですべてが「表」だったとしたら、

残りの9900回の試行では、

約100回ぐらいは「裏」の方が「表」よりたくさん出て、

お互いの確率が1/2に近づく

この考えを無意識のうちに真実であると仮定して論理を組み立てていることが、本来矛盾がないことに対して矛盾を感じる原因だと思います。


上の引用部分を「先に偏った結果が出ると後からそれが補填される現象」と呼ぶことにしましょう。


「先に偏った結果が出ると後からそれが補填される現象」と「それぞれの試行が独立事象であるということ」は、確かに矛盾しています。

しかし先に偏った結果が出ると後からそれが補填されるなんて現象は実際には起きませんし、なにより「大数の法則」は「先に偏った結果が出ると後からそれが補填される現象」を説明した言葉はありません。

よって前述の矛盾は、「大数の法則」と「それぞれの試行が独立事象であるということ」が矛盾するという考えの根拠にはなりません。


「大数の法則」を単に「試行を繰り返せば統計的確率は理論的確率に近づく」という意味だときちんと捉えれば、それが「一回一回の試行が独立事象である」と矛盾していないことが理解できるのではないでしょうか?

id:castle No.6

castle回答回数1011ベストアンサー獲得回数122010/11/18 14:06:38

ポイント15pt

自分なりに噛み砕いた言葉になってしまいますが。

 

時間の定義をどうされているのかと、ちょっと気になってしまいました。

統計的に見るなら、コイントスという実験において過去の蓄積データから次に出るコインの面を想定するという、予測行為を行っていることになります。

一方で、コイントスを観察する際に「独立事象」と見なすならば、過去データや未来予測といった、時間軸の観念を捨て去り、捨象した理論で考えていることになるのではないでしょうか。少なくとも、過去データをないものとした上での未来予測という行為になります。

 

過去情報を組み込むのか、捨象するのか、前提の異なる理論同士を比較して「矛盾しているのではないか」といった指摘なのでしたら、前提が違うのでしたら解も異なってくるでしょうし、大数の法則も、一回一回の試行が独立事象である中での確率論も、それぞれの条件内で正しい定義付けがなされているのではないでしょうか。

 

id:tama213 No.7

tama213回答回数486ベストアンサー獲得回数302010/11/18 15:05:30

ポイント5pt

>例えばコイン投げを100回して100回連続で「表」が出たあとでも、

>次の試行で「表」が出る確率も、「裏」が出る確率もともに1/2である、

次の試行ですが、過去の100回に依存しないということです。

過去100回仮に表がでてようが、そういう結果に関係ないということです。


そもそも、コイン投げをして100回連続で表が出る確率はかなり低いですから

このようなことを感覚として受け入れること自体が難しいのです。


たとえば、ラスベガスのルーレットで、赤か黒かを選択する場合を考えましょう。

もちろん、00の場合を考えないとして、赤か黒かは毎回1/2です。

10回程度なら、連続して赤がでたりは、実際にもあります。

この場合、10回赤が出たからといって、11回目が黒になる確率が高いなんてありえません。

大数の法則は、かなり多い回数(理論上は無限に近い回数)の場合に、

統計的確率は理論的確率が近くなるといってるだけです。

過去の結果に未来の結果が影響があるのなら、そこには因果律が存在することになります。

そうなると、当然、次回の確率は1/2ではないですが、因果律なんて存在しません。

id:loio No.8

loio回答回数342ベストアンサー獲得回数502010/11/18 22:34:48

ポイント5pt

例えば、一万回コイン投げをすれば、「裏」も「表」だいたい5千回ずつ出るだろうと思います。

1万回という数はちょっと少ないです。ぜんぜん大数じゃないです。

それはおいといて

最初に100回表がでたら、残り9900回でそれを修正するんじゃなくて、残り9900回はたぶん4900-5000回ぐらい表裏がでます。

この一万回をさらにたくさん繰り返すと、中には裏が100回でるときもあるだろうってこと

id:mansour No.9

mansour回答回数1ベストアンサー獲得回数02010/11/19 02:36:15

ポイント25pt

(ベルヌーイの)大数の法則は試行を繰り返すと理論値からの乖離(隔たり具合)が限りなく小さくなるということを意味しています。

これは「試行を繰り返すと理論値に近づく」という言い方と同じように思えますが、この言い方は大数の法則をものしたベルヌーイの言う文脈からすると誤解を生む表現だと思えます。これは「実際に」試行を繰り返せばある確率に近づくということを言っているのではありません。試行することを先に据えて考えると、たとえばコインが100回連続で表が出た事象を考えれば(べつに1億回表が出てもよいのですが)表が出る確率は100%であると言うことも可能だからです。というか表しか出ないイカサマコインを使えば、そういう結論を導くこともできてしまいますからね。これは表と裏が同じ確率で出る、そういう理想的なコインを使うことをすでに仮定した上での、純粋な思考実験なのです。

言い換えれば、まず理論値1/2が先にありきで、それを実際の現象に当てはめて考えるということです。

蛇足例。現実のコイン(例えば硬貨)は重心が隔たっているので、表裏が均等に出ることはありません。このコインで1/2の大数の法則を確かめることができるでしょうか? 答えはノーです。

このへんの事情は、ピーター・バーンスタイン「リスク<上>ー神々への反逆」に詳しく書かれています。

id:Lew No.10

Lew回答回数469ベストアンサー獲得回数202010/11/19 02:46:00

ポイント15pt

 もうほとんど結論を自分で書かれていますが、100回連続で表が出た、ということとコインの表と裏どちらかが出るかという事象は独立して存在するものであり表が100回出たから次は表になるというのなら、元々そのコインは1/2の確率ではないものなのでしょう。

 ただ、自分でも同じことを考えたことはあります。人間心理として同じものが出続けたときに次も同じ面が出る、もしくはここで違う面が出る、と思いがちです。自分は麻雀等ギャンブルが好きなほうですが、そういったなんだかの要素(勝負事)が加わった時に、本来の確率を自分の都合の良い確率、この場合だと連続した面が出るので次も同じ面が出る、と考えてしまうのではないかと思っています。(ちなみに自分ではこの現象を見かけの確率と勝手に呼んでます)

ちなみに、コインの表が100回連続で表になるのは仮にコインの表裏の確率が1/2としたとき、1/2の100乗なので

1,267,650,600,228,238,993,037,566,410,752

という確率になります。

あと、雑学的な話として、ビート武の数学の番組に出ていた数学教授が言っていたのですが、以前あるアメリカの数学者が調べたところ、コイントスの確率はトスするときの上面が出る確立がわずか(51%くらい)に高いそうです。

id:NazeNani No.11

なぜなに回答回数1615ベストアンサー獲得回数2762010/11/19 15:14:51

ポイント20pt

ちょっとややこしいのですが、正論はすでに出ている様なので、

観念的に読んでみて下さい。


「確率」は、ある現象が起こる度合いで、

ある試行が行われた後に、ある事象が現れる割合のことを指します。

この場合、二面のコインのいずれかの面が出る確率は、

二面あるので、各50%ずつとします。

これは、「偶然性」を含まないひとつに定まった数値であり、

発生の度合いを示す指標として使われるだけです。


一方、確率は50%であったコインの片面が出た、というのは、

例え1回であっても、100回表で出たのであっても、

「観測」です。こちらは「偶然性」も含みます。


確率と観測:

http://ja.wikipedia.org/wiki/確率#.E7.A2.BA.E7.8E.87.E3.81.A8.E8.A6.B3.E6.B8.AC


興味深い考え方としては、「エヴェレットの多世界解釈」を

ご存知でしょうか。コインを空中に投げて、受けて、手で隠す。

コインは二面であり、理論的には、表と裏の出る「確率」は、

半々、それぞれ50%とします。

その後、手をのけて「観測」をすると、表か裏かが判明します。

これについて、多世界解釈では可能性の数だけ、

世界が分岐するという量子学的な解釈がなされます。

(量子論の世界では、事象は決定的でなく確率的に決まるだけですが)

なので、例え、主流であるこの世界で今表が100回出たとしても、

確率的には半々なので、もう一つの世界や別の時間や空間には、

裏が出ていた可能性も「確率的には」あった訳です。


一瞬どらえもんみたいと思いましたが、まともな数式で

これを表している人たちもいて、数学に弱い私は数式でなく、

観念的にしか理解できなかったのですが、私たち人間の知覚では

時間が一方向に連続して流れて行くように思いますが、

もしそれが実際は積み重なったりランダムに起きているような時、

別世界、例えば、過去や未来や別の空間(手でなく空中とか)では

同時にコインの別の面が、同じ位の出ている「確立」もありますよね。

私たちが完全に知覚できる世界だけが宇宙の全てではありませんので、

偶然あなたの手の上で表が出たにしても、空中を舞っているコインが

回転していて、偶然がなければ、同じくらいの確率で

反対の面が表に出ていたが、それをあなたが手に受けた時点で、

「確率」に、確率には含まれない「偶然性」が加わって、

その要素を加えて、後に「観測」した時には、

同じ面が連続で出たように知覚されたものの、

どこでどう受けるとか、そう投げるとかの「偶然性」を

まだ含まない、投げる前のプレーンな一回ずつを見た限りは、

「偶然性」が加わる前の「確率」的には半々のままになります。


投げ方の癖とかの「偶然性」が加わった後の「観測」では、

表が100回出たとしても、投げる前の確立自体の数値は、

変わらないのはこういう考え方もあって、面白いと思います。


http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E4%B8%96%E7%95%8C%E8%A7%A...

id:Haga No.12

Baka回答回数9ベストアンサー獲得回数12010/11/21 04:42:32

ポイント15pt

皆さんほどに、背景理論に詳しくありませんが、

下の「大数の法則と一回一回の試行が独立事象であるということがなぜ矛盾しないのか」に回答します。

回数が無限と考えれば良いのでは無いでしょうか。

例えば下にあるように、100回試行した段階ですべてが「表」だったとします。

また次の試行で「表」が出る確率も、「裏」が出る確率もともに1/2とします。

この時、n回目が終了した時点で表の確率で(n→∞)とすれば、

 Pn = (100 + (n-100)/2) / n → 1/2 

となりますよね。

これが、いわゆる「大数の法則」が意味する事と私は考えておりますが、

認識に問題があるでしょうか。

  • id:BLOG15
    今、windofjulyさんとragi-junさんの回答を拝見させて頂いたのですが、
    自分の聞きたいことを間違えて書いていることに気付きました。すみません。

    正確には、大数の法則と一回一回の試行が独立事象であるということがなぜ矛盾しないのか?ということでした。

    例えば、一万回コイン投げをすれば、「裏」も「表」だいたい5千回ずつ出るだろうと思います。
    で、100回試行した段階ですべてが「表」だったとしたら、残りの9900回の試行では、
    約100回ぐらいは「裏」の方が「表」よりたくさん出て、お互いの確率が1/2に近づくのではないか、
    それがそれぞれの試行が独立事象であるということとなぜ矛盾しないのか? 

    ということが本当の質問の意味でした。
  • id:windofjuly
    うぃんど 2010/11/18 10:05:02
    流れ着くところは同じですよ
    1回だけを見れば独立事象ですが、2回ではすでに独立ではありませんよね
  • id:BLOG15
    >2回ではすでに独立ではありませんよね

    これがよくわかりません。もしかして私が「独立事象」という言葉の意味を間違えて使っているということでしょうか?
    一応、それぞれのコイン投げの試行において「裏」か「表」が出る確率は、
    その前の試行の結果には影響を受けないという意味で使っていました。
  • id:windofjuly
    うぃんど 2010/11/18 10:34:11
    「独立事象=その前の試行の結果には影響を受けない」はおかしくないです
    1回1回それぞれを切り離して観れば独立事象です
     
    しかしながら確率は全体を俯瞰して観るため、
    2回となるとそれぞれの個性/独立性を無視して全体の一部として観ることになります
  • id:BLOG15
    すみません、少し混乱してきたので、夜にまた再コメントさせていただきます。
  • id:takejin
    補填じゃないです。誤差になるだけです。
    大数の法則は、近似です。
    確率とは別の、観察の結果が大数の法則ですから、
    「細かいことは誤差になる」
    だけです。

    理論:確率(つまり1/2)
    観察:大数の法則
    別物なので、もともと矛盾ではありません。
  • id:kuro-yo
    すみませんが、「統計的確率」「理論的確率」とはなんでしょうか。
    文脈から見ると、前者は集計結果を指しているようですが、集計結果は単なる生起回数の「比率」であって、「確率」とは呼べないですよね。
  • id:garyo
    ベイズの定理は以下があって面白いですね。


    三囚人問題
    http://blogpal.seesaa.net/article/28040955.html
    >>
    3人の囚人A、B、Cがいる。三人とも処刑されることになっていたが、王子が結婚するというので王様が一人だけ恩赦にしてやることになった。誰が恩赦になるのか決定されたが、まだ囚人たちには知らされていない。
    結果を知っている看守に、囚人Aが
    『BとCのうち、どちらかは必ず処刑されるのだから、処刑される一人の名前を教えてくれても、私に情報を与えることにはならないだろう。一人を教えてくれないか。』
    と頼んだ。
    看守は、その言い分に納得して『囚人Bは処刑されるよ』と教えてやった。
    囚人Aは、
    「はじめ自分の助かる確率は1/3だった。いまや助かるのは自分とCだけになったので、助かる確率は1/2になった」
    と喜んだ。
    さて、看守の返事を聞いた後の囚人の助かる確率はどれだけか?
    <<

    とか
    http://realwave.blog70.fc2.com/blog-entry-63.html
    モンティホール問題
    >>
    「テレビのクイズ番組にあなたは参加しています。番組の中で3つのドアがあって、そのうち1つのドアの後ろには新車が、2つのドアの後ろにはヤギがいます。あなたからは、ドア向こうが何かわかりませんが、新車の隠れているドアを開けると新車がもらえます。ヤギの隠れているドアを開けても何ももらえません。あなたが1つのドアを選んだ後、ドアの後ろに何があるかを知っている司会者が残りの2つのドアのうちヤギがいる方のドアを開けました。そして、今あなたは自分が選んだドアと、残っている開けられていないドアを交換しても良いと言われます。あなたは交換すべきでしょうか。」

    多くの人は「2つのドアが開けられていないので、ヤギか新車かはどちらのドアも50%づつ」だから「変えない」と考えます。ところが、直感的には正しそうなこの答は間違いです。残っている方のドアの後ろに新車がある確率は50%ではなく、3分の2、約66.7%なのです。
    <<
  • id:ita
    http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers

    この定義を見ると、大数の法則は何回も試行したときの統計平均が、ある一定値に収束していく、具体的にはその値から大きくずれる確率が試行を増やすにしたがって0になっていく、となっています。

    すなわちすでに定義で「確率」の概念が自明のものとして使われているので、この法則を使って確率を定義しようとすること、つまり表が出る確率が1/2とはどういうことなのか、を明確にするということはできないことになります。

    100回表の話だと、そういうのは本来ほとんど起こらない、ということが大数の法則の言っていることになりますね。
  • id:ey272
    確率って、理想状態でいくつの状態に別けられるか(別れるか)ということでしょ?
    現実は理想状態ではないので、大数の法則が適用できるかわかりません。

    すべてのコイン投げで表しか出なかった(あらゆる確率が関わる実験で分布が見られない結果しか得られなかった)世界の住人は大数の法則に気づいたのでしょうか?
    そもそも現実で言う「確率」って厳密に何なのか、よくわかってないのでは?
  • id:BLOG15
    どうコメントすればいいのかわからなくなって数日間何も書けませんでした。
    回答者みなさん一人一人に返信すると、
    ややこしくなりそうなのでまとめてコメントに書かせていただきます。

    とりあえず、今回の質問については、実際のコインの「裏」と「表」の出る確率が1/2であるかどうかはあまり関心がなく、
    「表」が出る確率が実際には7割で裏の確率が3割とかであってもなんでもいいです。
    例で挙げただけなので、「100回連続」がありえなさそうであれば、10回連続でも20回連続でもいいです。

    物理のことはわかりませんが、分子一つ一つの動きはわからなくてもある空間内にある分子全体の統計をとると、
    全体ではある規則が見えてくるという統計力学と同じように、
    確率の不思議な所とは、一回一回の試行の結果を予測することは不可能であるのに、膨大な有限回の試行を試すと、
    全体としてはある傾向が見えてくるというところだと自分は解釈しています。
    一回一回の不規則な事象をかき集めると全体としては規則性が見い出せるといいますか。

    で、必ずしも大数の法則を「先に偏った結果が出ると後からそれが補填される現象」と解釈しているわけではないんです。
    あと、試行を繰り返すと誤差が小さくなるから無視して良いと単純に考えていいのか?という疑問がまだ残ります。

    コイン投げの例で言えば、最初に「表」が何回も連続で出るという結果が出たあとの試行で、
    「裏」も「表」も同じ回数ずつぐらい規則的に出るならば、
    単純に試行を繰り返せば繰り返すほど誤差は小さくなると考えていいと思います。

    しかし、実際には、例えば10億回の試行をしてみて、それを100回ずつに分けて見てみると、
    1000万個の中には「表70回、裏30回」とか「表20回、裏80回」とかバラバラになると思います。
    多分、そのばらつき具合は正規分布のようになっているだろうと思います。
    つまり、ある部分を見ると「表」が偏って出ている所もあれば、
    逆に裏が偏って出ている所も同等の可能性であるんではないかと。
    で、膨大な有限回の結果、理論的確率に収束していく。

    でも、10億回試行しても理論的確率と乖離している場合もごくごく稀にはあるだろうと思います。
    そういう場合でも、そのまま試行を繰り返し続ければやががては、やはり理論的確率に収束していくだろうと思います。
    もしそれでも万が一、一乖離しているならば、そのまま試行を続ければ・・・・と考えていると、最初の疑問にあたります。


    無駄に冗長になりましたが、とりあえず以上がみなさんの回答を読んでのとりとめのない感想です。
    間違っているところがあれば、遠慮無く指摘して頂いて構いません。
    ただ、今回は皆さん一人ひとりに返信しようとすると、混乱しそうなので、返信は控えます。
    ただし、みなさんの回答はすべてきちんと読ませていただいています。
  • id:BLOG15
    ビュフォンの針のシミュレーションを眺めていたら、なんとなく感覚的に分かってきたかもしれません。
    「分かったつもり」になっているだけの可能性もあるんで、今の所はっきりとは言えませんが。

    http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/buffon/buffon.htm
  • id:garyo
    >多分、そのばらつき具合は正規分布のようになっているだろうと思います。
    この場合は2項分布になり、サンプルが十分多ければ正規分布で近似できる。
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%83
    >でも、10億回試行しても理論的確率と乖離している場合もごくごく稀にはあるだろうと思います。
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%A5%B5%E9%99%90%E5%AE%9A%E7%90%86
    中心極限定理
    >>
    大数の法則によると、ある母集団から無作為抽出された標本平均はサンプルのサイズを大きくすると真の平均に近づく。これに対し中心極限定理は標本平均と真の平均との誤差を論ずるものである。多くの場合、母集団の分布がどんな分布であっても、その誤差はサンプルのサイズを大きくしたとき近似的に正規分布に従う。
    <<
    より
    X が平均 μ,標準偏差 σ の正規分布に従うならば,大きさ n の無作為標本に基づく標本平均 は,平均μ,標準偏差σ/√n の正規分布に従う。

    コイン投げの場合は確率p=1/2なので
    平均m=p=1/2 標準偏差σ=√(np(1-p))=1/2√n

    >>
    しかし、実際には、例えば10億回の試行をしてみて、それを100回ずつに分けて見てみると、
    1000万個の中には「表70回、裏30回」とか「表20回、裏80回」とかバラバラになると思います。
    多分、そのばらつき具合は正規分布のようになっているだろうと思います。
    <<
    この場合n=100と考えると
    この取り出したサンプルの表のでる回数は
    期待値=50 標準偏差=σ/√n=1/2√n/√n =1/2の正規分布になります。

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