1290849714 数学Aの問題で、わからない問題が2つほどありまして・・・どう証明していけばよいのやら・・・よろしくお願いします(>_<)

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  • 1人5回まで
  • 登録:2010/11/27 18:21:56
  • 終了:2010/12/02 02:46:52

ベストアンサー

id:Silvanus No.4

Silvanus回答回数174ベストアンサー獲得回数672010/11/30 01:28:07

ポイント100pt

私が未だ中学生の頃は、本問は中学数学の範囲だったですね。懐かしい。

きっと下記の様なややこしい方法でなくてもきっと証明できると思うのですが

記憶を頼りにやったらこうなってしまいました。赤や青の線は補助線です。

中括弧内は主に図中の記号に関連した注釈です。

図をクリックすると別ウィンドウに拡大図が表示されます。

-----

---

<問1>

【証明】

△ABCの外接円をOとし、円OとAI1が交わる点をDとする。

線分BDおよびCDを引く。線分ABをB側に延長した先をEとする。

∠ABI = ∠CBI {=角▲}、∠BAI = ∠CAI {=角○}[Iは内心]

∠BID = ∠ABI + ∠BAI {=角▲+角○} [△IABの外角]

∠CBD = ∠CAD = ∠CAI {=角○} [円周角] …①

∴∠DBI = ∠CBD + ∠CBI = ∠BAI + ∠ABI = ∠BID {=角▲+角○}

∴BD = DI {同様にCD = DIですが、必要ではないので省略} …②

∠CBI1 = ∠EBI1 {=角■} [I1は傍心]

∴∠IBI1 = ∠CBI + ∠CBI1 = 180°/2 = 90° {=角■+角▲}

同様に∠ICI1 = 90°

∴四角形CIBI1の4頂点は同一円周上に存在する {青破線}

∠DI1B = ∠II1B = ∠BCI {=角△} [円周角]

    = ∠ACI [Iは内心] …③

∠CBI1 = ∠CII1 [円周角]

    = ∠CAI + ∠ACI {=角△+角○} [△ICAの外角]

    = ∠CBD + ∠DI1B [①,③]

∴∠DBI1 = ∠CBI1 - ∠CBD

     = (∠CBD + ∠DI1B) - ∠CBD

     = ∠DI1B

∴BD = I1D

∴DI = I1D [②]

∴△ABCの外接円Oは内心Iと傍心I1を結ぶ線分II1を二等分する 【証明終了】

---

<問2>

【証明】※傍心IBをI2に直してます。下付の"B"が書き込めないためです。

線分BAをA側に延長した先をEとする。

傍心I2から直線BCに下ろした垂線の足をHとする。線分AI2を引く。

∠CAD = ∠CAB/2 [二等辺三角形の頂点から底辺に下ろした垂線は頂角を二等分する]

∠CAI2 = ∠CAE/2 [I2は傍心]

∴∠DAI2 = ∠CAD + ∠CAI2 = 180°/2 = 90°

∴四角形CAI2Hは長方形 [3内角が90°]

∴AD = I2H

∴∠B内の傍接円I2の半径I2HはADに等しい 【証明終了】

id:moon-fondu

詳しい解説、ありがとうございます!

でもすいません、

∴∠IBI1 = ∠CBI + ∠CBI1 = 180°/2 = 90° {=角■+角▲}

という部分で詰まってしまいまして・・・(>_<)

どうして、∠CBI + ∠CBI1が90°になるのか、わかりません。お手数おかけして申し訳ないのですが、もしよろしければ、

その理由を再度お答えいただけないでしょうか?

よろしくお願いします<m(__)m>

2010/11/30 23:57:20

その他の回答(3件)

id:suppadv No.1

suppadv回答回数3552ベストアンサー獲得回数2682010/11/27 19:25:50

ポイント5pt

一番目は、以下のHPを見てみてください。

問題のほか、他の関係まで証明されていますので、一気にこの辺りのことが理解できると思います。

http://suugakusuki.seesaa.net/article/94070266.html

http://suugakusuki.seesaa.net/article/94868494.html

id:moon-fondu

「傍心 性質」などで検索すると、上の方に出てくるやつですね・・・ちょっと質問の問題にたぐりよせて解釈するのは、私には難しいようです。。。傍心についての解説よりも、「内心、傍心、外接円との関係性」について、重きを置いているようなので・・・(>_<)

2010/11/30 23:37:48
id:windofiuly No.2

windofiuly回答回数62ベストアンサー獲得回数22010/11/28 11:33:41

質問者様におかれましては、数学の宿題をネットで解決しようとする姿勢はいかがなものでしょうか。

id:moon-fondu

宿題ではありません。社会人ですので、個人的に数学を勉強しています。

2010/11/28 12:20:22
id:suppadv No.3

suppadv回答回数3552ベストアンサー獲得回数2682010/11/28 17:10:10

ポイント5pt

2番目の問題について回答が入らないようなので、また、入れさせてもらいます。

(因みに、解答に至る概略だけで解答をそのまま載せるということはしませんので、参考程度にしてください。一番目も、解答そのままにならないでさらに+αになるようなHPの紹介をしたつもりです。)


まず、BAの延長上の円との接点をE、AC上の円との接点をFと置いてください。

1/2角EAC=角EAI=角IAC  となりますね。


今度は、角DAEについて見ると 角DAE=90度+角EAIです。

それに、角EAI+角BAD=90度になることを考え合わせると、なんとなく証明が見えてくると思います。

id:Silvanus No.4

Silvanus回答回数174ベストアンサー獲得回数672010/11/30 01:28:07ここでベストアンサー

ポイント100pt

私が未だ中学生の頃は、本問は中学数学の範囲だったですね。懐かしい。

きっと下記の様なややこしい方法でなくてもきっと証明できると思うのですが

記憶を頼りにやったらこうなってしまいました。赤や青の線は補助線です。

中括弧内は主に図中の記号に関連した注釈です。

図をクリックすると別ウィンドウに拡大図が表示されます。

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<問1>

【証明】

△ABCの外接円をOとし、円OとAI1が交わる点をDとする。

線分BDおよびCDを引く。線分ABをB側に延長した先をEとする。

∠ABI = ∠CBI {=角▲}、∠BAI = ∠CAI {=角○}[Iは内心]

∠BID = ∠ABI + ∠BAI {=角▲+角○} [△IABの外角]

∠CBD = ∠CAD = ∠CAI {=角○} [円周角] …①

∴∠DBI = ∠CBD + ∠CBI = ∠BAI + ∠ABI = ∠BID {=角▲+角○}

∴BD = DI {同様にCD = DIですが、必要ではないので省略} …②

∠CBI1 = ∠EBI1 {=角■} [I1は傍心]

∴∠IBI1 = ∠CBI + ∠CBI1 = 180°/2 = 90° {=角■+角▲}

同様に∠ICI1 = 90°

∴四角形CIBI1の4頂点は同一円周上に存在する {青破線}

∠DI1B = ∠II1B = ∠BCI {=角△} [円周角]

    = ∠ACI [Iは内心] …③

∠CBI1 = ∠CII1 [円周角]

    = ∠CAI + ∠ACI {=角△+角○} [△ICAの外角]

    = ∠CBD + ∠DI1B [①,③]

∴∠DBI1 = ∠CBI1 - ∠CBD

     = (∠CBD + ∠DI1B) - ∠CBD

     = ∠DI1B

∴BD = I1D

∴DI = I1D [②]

∴△ABCの外接円Oは内心Iと傍心I1を結ぶ線分II1を二等分する 【証明終了】

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<問2>

【証明】※傍心IBをI2に直してます。下付の"B"が書き込めないためです。

線分BAをA側に延長した先をEとする。

傍心I2から直線BCに下ろした垂線の足をHとする。線分AI2を引く。

∠CAD = ∠CAB/2 [二等辺三角形の頂点から底辺に下ろした垂線は頂角を二等分する]

∠CAI2 = ∠CAE/2 [I2は傍心]

∴∠DAI2 = ∠CAD + ∠CAI2 = 180°/2 = 90°

∴四角形CAI2Hは長方形 [3内角が90°]

∴AD = I2H

∴∠B内の傍接円I2の半径I2HはADに等しい 【証明終了】

id:moon-fondu

詳しい解説、ありがとうございます!

でもすいません、

∴∠IBI1 = ∠CBI + ∠CBI1 = 180°/2 = 90° {=角■+角▲}

という部分で詰まってしまいまして・・・(>_<)

どうして、∠CBI + ∠CBI1が90°になるのか、わかりません。お手数おかけして申し訳ないのですが、もしよろしければ、

その理由を再度お答えいただけないでしょうか?

よろしくお願いします<m(__)m>

2010/11/30 23:57:20
  • id:taknt
    こういう問題って似たようなのが多いから たいていは検索すると出てくる。
  • id:kuro-yo
    じゃぁ、私もヒントだけ。

    ・角Aの外角=角B+角C
    ・角B=角C
    ・円IBの中心は角Aの外角の二等分線上

    →どこかとどこかが平行。
  • id:moon-fondu
    すいません、皆様真剣にご回答くださっているのに、全然返信できませんでして(>_<)
    いいわけで申し訳ないのですが、ちょっと会社の仕事に追われておりまして・・・明日以降、じっくり皆様のご回答を読ませていただきます!
    よろしくお願いします<m(__)m>
  • id:moon-fondu
    傍心については、前回の質問
    http://q.hatena.ne.jp/1261771839
    を参考に、「∠Aの2等分線と、∠B、∠Cの外角の2等分線が交わる点(傍心)」ということは理解できるのですが・・・目的は傍心の理解ではなく証明なので、質問しました(@_@;)
  • id:moon-fondu
    >Silvanusさん
    <問2>の方も、

    ∴∠DAI2 = ∠CAD + ∠CAI2 = 180°/2 = 90°

    という箇所で、つまづいてしまいました(>_<)
    「∠DAI2 = ∠CAD + ∠CAI2 = 90°」であるには、AI2とBCが平行でなければならないと思うのですが。。。∠ADBは、問題文より直角であることは伺えるのですが、∠DAI2は、直角かどうか不明なので、∠CAD + ∠CAI2 = 90°とすることはできないと思うのですが。。。どうして可能なのでしょうか?
    度々すいません(>_<)
  • id:Silvanus
    両方とも同じ点が問題になっている訳ですね。
    そんなに難しく考えないで大丈夫ですよ。
    図がシンプルなので問2の方で説明しますと
    ∠BAC = ∠BAD + ∠BAC で、かつ ∠BAD = ∠BAC ですから
    ∴∠BAC = 2∠CAD よって ∠CAD = ∠BAC/2 です。
    同様に
    ∠CAE = ∠CAI2 + ∠EAI2 で、かつ ∠CAI2 = ∠EAI2 ですから
    ∴∠CAE = 2∠CAI2 よって ∠CAI2 = ∠CAE/2 です。
    となると、
    ∠DAI2 = ∠CAD + ∠CAI2
        = ∠BAC/2 + ∠CAE/2
        = (∠BAC + ∠CAE)/2
    = 180°/2 = 90°
    となります。
    問1についても同様で、
    つまり「内心」と「ある1頂点」と「傍心」でできる角、
    ここでは∠IBI1および∠ICI1は常に90°になる訳です。
    お解りいただけましたでしょうか?
  • id:Silvanus
    追記 上記の「ある1頂点」とは、三角形の
    「内心」と「傍心」の間にある「一辺」(線分)の何れかの端ということです。
    それらを除くもう一つの頂点と「内心」と「傍心」は常に一直線上になりますから。
  • id:moon-fondu
    Silvanusさん、再度ご回答いただきありがとうございます、理解できました(^_^;)

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