1291765183 数学の証明問題で、困っています。aが最大辺であることや、△ABCが鋭角三角形になるためのaの角度など、その条件が何なのか、数式に示すことができませんでして・・・(>_<)

よろしくお願いします<m(__)m>

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2010/12/08 08:39:44
  • 終了:2010/12/15 01:48:48

ベストアンサー

id:rsc96074 No.11

rsc回答回数4401ベストアンサー獲得回数4042010/12/08 20:23:05

ポイント100pt

(1)まずは、三角不等式から、

 5-3<a<5+3</p>

∴2<a<8・・・①</p>

 また、最大辺だから、

max(3,5)=5<a・・・②</p>

①②から、

 5<a<8・・・③</p>

※参考URL

●受験数学かずスクール 三角不等式を用いた証明

|b-c|<a<b+c

http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-58.html

●三角不等式

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-to-siki/syoumei/h...

●高等学校数学A 平面図形 - Wikibooks

| b - c | < a < b + c

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A...

●高校数学公式集

>◆三角形の成立条件

http://175.jp/~studymath/A_heimen/kakudaisho.html

(2)最大辺について余弦定理を考えればよいようです。

 余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc Cos[A]において、

角Aが鋭角のとき、Cos[A]>0だから、

 a^2<b^2+c^2</p>

∴a^2<3^2+5^2=34

a>0だから、

∴0<a<√[34]・・・④</p>

 ちなみに、5<√[34]<6・・・⑤

③④⑤から、求めるaの値の範囲は、

 5<a<√[34]</p>

※参考URL

●[PDF] 三平方の定理 1

>3 三平方の定理の応用(高校内容) ←cをaにかえればよいです。

http://www.zkai.co.jp/jr/ikkanko/pdf/am3hy.pdf

●三角形 成立条件 鋭角条件(その15の解)その2完結|高崎駅徒歩1分 ...

http://ameblo.jp/toyokunbenkyou/entry-10307561545.html

id:moon-fondu

ありがとうございます、参考資料もたくさんあり、すごくよく理解できました!

でも一つだけ、気になる点があります。

garyoさんにご指摘いただいた「aが小さくなりすぎて他の角が鈍角にならないようにする」ことが、「a<√[34]」を導くだけでは、いけないような気がするのです・・・角Bおよび角Cが鈍角にならないことを示すには、どのような文言を加えておけば大丈夫でしょうか?度々すいません、もしよろしければ、再度ご回答いただきたいです(>_<)

2010/12/10 01:49:28

その他の回答(12件)

id:otenki8 No.1

otenki8回答回数118ベストアンサー獲得回数122010/12/09 21:07:53

ポイント10pt

9番で回答したotenki8です。

内容が間違っておりましたので、訂正させていただきます。

 

問題2で、直角三角形になる条件ですが、

(誤)a = 6

(正)a = √34

でした。

 

よって、aの範囲は、

5 < a < √34

です。

 

申し訳ありませんでした。お詫びして訂正させていただきます。

id:moon-fondu

いえいえ。丁寧に再回答していただき、ありがとうございます!

2010/12/10 01:31:01
id:takejin No.2

たけじん回答回数1486ベストアンサー獲得回数1922010/12/08 08:55:01

ポイント5pt

答えの寸前まで。

1 ·最大辺ですから、bやcより大きいこと つまり 5<a</p>

 ·三角形ですから、aがb+cより大きいと三角形が成り立たない つまり a<(b+c)

2鋭角三角形ですから、どの角度も直角より小さい。境目はどこかが直角である三角形。

最大辺の向かい側の角が、最も大きい角ですから、ここが直角な三角形。

で、ピタゴラスの定理から、

a^2 = b^2+c^2

id:moon-fondu

2番がちょっとわかりません・・・(>_<)

2010/12/10 01:31:57
id:a-kuma3 No.3

a-kuma3回答回数4595ベストアンサー獲得回数19342010/12/08 10:15:16

ポイント10pt

1. a の取りうる値の範囲

a が最大辺なのだから、b, c の長い方よりも大きいので、a > 5 。

a をどんどん長くしてゆくと、∠A が大きくなっていくけど、b + c = a だと∠A = 180度 で三角形じゃなくなっちゃうので、a < b + c

合わせて、


  5 < a < 8




2. △ABC が鋭角三角形となる a の範囲

a が最大辺なのだから、∠B と ∠C は鈍角にならない。

鋭角三角形になるためには、∠A < 90度なのだから、a の最大値は三平方の定理を使って

a = √(b^2 + c^2) = √34


  5 < a < √34

id:moon-fondu

ありがとうございます、2番もわかりました!

2010/12/10 01:32:39
id:Happisee714 No.4

はぴすぃ714回答回数43ベストアンサー獲得回数72010/12/08 13:41:29

ポイント80pt

1.は 5<a<8

2.は 5<a<√34

だと思います。

以下、証明(もどき?)文です。






1.

aが最大辺なので、a>cより、a>5

a≧b+cとなると、△ABCが作れないので、a<b+c

よって、a<8


以上より、 5<a<8




2.

余弦定理より、

         b^2+c^2-a^2

cosA=――――――――――――――

            2bc

           ↑

       (分数のつもりです)



A<90°のとき、cosA>0より、a^2<b^2+c^2

A=90°のとき、cosA=0より、a^2=b^2+c^2

A>90°のとき、cosA<0より、a^2>b^2+c^2


∠A<90°になればよいから、a^2<b^2+c^2

b=3,c=5を代入して、

a^2<34

 a<√34


これとa>5より、

5<a<√34



こんな感じで大丈夫ですか?

id:moon-fondu

ありがとうございます、2番目の問題について、一番よく理解できました!

2010/12/10 01:50:42
id:frkw2004 No.5

ふるるP回答回数192ベストアンサー獲得回数212010/12/08 14:43:51

ポイント5pt

(1)aは三角形の中で最大の長さの辺なので5以上。また三角形になるにはaはb+cより短い必要があるので、

答え)  5≦a<8

(2) 鋭角三角形とは全ての角が90度未満の三角形のこと。(1)の答えの範囲で角Aが90度になるときのaを求めれば良い。角Aが90度のとき、ピタゴラスの定理から

 a^2 = b^2+c^2

   = 25+9

   = 34

従って a = √34

 答え) 5≦a<√34

id:moon-fondu

ありがとうございます。

2010/12/10 01:36:21
id:btr No.6

btr回答回数77ベストアンサー獲得回数102010/12/08 17:22:55

ポイント20pt

A1

aが最大辺なので、a>c=5

三角形の1辺の長さは他の2辺の長さの和より小さので、a<b+c=8</p>

よって、5<a<8</p>

A2

三角形の辺の大小関係はその対角の大小関係と一致するので(下記リンク参照)、

http://www.e-learning-jp.net/teach_math/math1/text/01_08_05_001a...

辺aの対角が最も大きく、aが8に近いときは鈍角三角形です。aを徐々に減少させると、

ある長さのとき直角三角形になり、それより小さいと鋭角三角形になります。

△ABCが直角三角形になるのは、a=√(b*b+c*c)=√34のときです。

A1の結果と合わせて、

5<a<√34のとき、△ABCが鋭角三角形になる。</p>

以上

id:moon-fondu

解説と、興味深いリンク、ありがとうございます!

「三角形の辺の大小関係はその対角の大小関係と一致する」ということの証明は、非常に勉強になります!

2010/12/10 01:38:13
id:YAMADAMAY No.7

やまだまや(真優)回答回数171ベストアンサー獲得回数122010/12/08 20:10:31

ポイント5pt

aが最大辺ということですから

最小はcで5、最大はb+Cで8 ∴ aのとりえる値は5から8の間(5≦a≦8)


∠Aが鋭角でaが最大辺ということですから直角まで(直角を含まず)

∠Aが直角の時はa=√(5x5+3x3)=√34ですから

最小はcで5、最大は)√34未満  ∴aのとりえる値は5から√348の間(5≦a<√34)

元問題には無いようですが

∠Aはcos(10/3)からπ/2(:=90度)未満の間です。(最小はa,b,cが5,3,5の二等辺三角形、最大が√34未満、3,5の直角三角形に限りなく近い形です)

id:moon-fondu

ありがとうございます。

2010/12/10 01:38:51
id:garyo No.8

garyo回答回数1782ベストアンサー獲得回数962010/12/08 21:27:06

ポイント5pt

数直線を考えます。

X軸上で長さ5になる点(5,0)にC

原点を中心に半径3で回転する円上の点をBとします。

直線CBの長さがAになります。

絵を書いてBを回すと、aが一番短くなるのは

Bが(2,0)になったときで、一番長くなるのはBが(-2,0)になったときです。その時は三角形にならないので、等号を含まず

5-3=2<a<8=5+3 になります。</p>

まず、角Aが鋭角になる条件は、Bが(0,3)の位置にいるa=√(3^2+5^2)=√34の時よりaが小さくなれば良いので、a<√34

aが小さくなりすぎると今度は角Bが鈍角になるので、角Bが90度になる点を考えると、三角形ABCはBが直角になるので

三平方の定理より c^2=b^2+a^2となり

a=√(c^2-b^2)=4

よって 4<a<√34</p>

id:moon-fondu

ありがとうございます。

2010/12/10 01:39:23
id:otenki8 No.9

otenki8回答回数118ベストアンサー獲得回数122010/12/08 23:39:35

ポイント15pt

まず、両手で三角形を作りましょう。

使う指は親指と人差し指です。

bを左手の人差し指(=左辺)、cを右手の人差し指(=右辺)、そしてaを親指2本をつなげたもの(=底辺)としてください。

 

1、(1)aの最大値

手元の三角形をぺしゃんこにするとどうなりますか? 人差し指と親指がくっついてしまうと三角形ではなくなりますので、一歩手前で止めます。人差し指2本分(b+c)よりも、親指2本分(a)が大きくなることはありませんね。

すなわち、最大値は8です。


(2)aの最小値

今度は、手元の三角形を縦長に伸ばしていきます。親指部分が短くなるのが分かりますね。

問題文に「aを最大辺とする」という条件があるので、cの長さ(5)よりは大きくなります。

よって、最小値は5です。

aの範囲は

5 < a < 8

となります。


2、90度になる条件を調べるためにピタゴラスの定理(三平方の定理)を使います。

aの2乗 = bの2乗 + cの2乗 = 3x3 + 5x5 = 36

よって、

a = 6

です。

※手元で三角形を作ってみてください。

よって、答えは、

5 < a < 6

となります。

id:moon-fondu

ありがとうございます。

2010/12/10 01:30:55
id:y-kawaz No.10

y-kawaz回答回数1421ベストアンサー獲得回数2262010/12/09 04:47:41

ポイント1pt

そもそも証明問題とはどこにも書いてませんが?

A1) 5 < a < 3+5=8

A2) 5 < a < √(3^2+5^2)=√34

id:moon-fondu

ありがとうございます。でも、プロセスも知りたかったです(>_<)

2010/12/10 01:39:57
id:rsc96074 No.11

rsc回答回数4401ベストアンサー獲得回数4042010/12/08 20:23:05ここでベストアンサー

ポイント100pt

(1)まずは、三角不等式から、

 5-3<a<5+3</p>

∴2<a<8・・・①</p>

 また、最大辺だから、

max(3,5)=5<a・・・②</p>

①②から、

 5<a<8・・・③</p>

※参考URL

●受験数学かずスクール 三角不等式を用いた証明

|b-c|<a<b+c

http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-58.html

●三角不等式

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-to-siki/syoumei/h...

●高等学校数学A 平面図形 - Wikibooks

| b - c | < a < b + c

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A...

●高校数学公式集

>◆三角形の成立条件

http://175.jp/~studymath/A_heimen/kakudaisho.html

(2)最大辺について余弦定理を考えればよいようです。

 余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc Cos[A]において、

角Aが鋭角のとき、Cos[A]>0だから、

 a^2<b^2+c^2</p>

∴a^2<3^2+5^2=34

a>0だから、

∴0<a<√[34]・・・④</p>

 ちなみに、5<√[34]<6・・・⑤

③④⑤から、求めるaの値の範囲は、

 5<a<√[34]</p>

※参考URL

●[PDF] 三平方の定理 1

>3 三平方の定理の応用(高校内容) ←cをaにかえればよいです。

http://www.zkai.co.jp/jr/ikkanko/pdf/am3hy.pdf

●三角形 成立条件 鋭角条件(その15の解)その2完結|高崎駅徒歩1分 ...

http://ameblo.jp/toyokunbenkyou/entry-10307561545.html

id:moon-fondu

ありがとうございます、参考資料もたくさんあり、すごくよく理解できました!

でも一つだけ、気になる点があります。

garyoさんにご指摘いただいた「aが小さくなりすぎて他の角が鈍角にならないようにする」ことが、「a<√[34]」を導くだけでは、いけないような気がするのです・・・角Bおよび角Cが鈍角にならないことを示すには、どのような文言を加えておけば大丈夫でしょうか?度々すいません、もしよろしければ、再度ご回答いただきたいです(>_<)

2010/12/10 01:49:28
id:a-kuma3 No.12

a-kuma3回答回数4595ベストアンサー獲得回数19342010/12/11 02:07:13

ポイント1pt

「a<ー(√13)/2+1/2または、(√13)/2+1/2<aかつ-2<a<3、かつ2<a」という、aについて複雑に場合分けされた解答には至ることができないのです

確かに、参照先のページって、説明がへたくそで、よく分からないね(これで、塾講師か X-))。

ルートが入ってる方の条件は、cosθの不等式を解いてるだけだから良いよね。


2<a は、場合分けで「3<2a-1の場合」とあるから、これを解けば良い(「解く」というほどじゃない)。


-2<a<3 が、よく(ぼくには)分からない。

他の二辺の長さが、2と3だから、三角形として成立するためには、

CA が一番短い場合: CA > 3-2 → 2a-1 > 1 → a > 1

CA が一番長い場合: CA < 3+2 → 2a-1 < 5 → a < 3

で、1<a<3 のような気がするんだけどね。

id:moon-fondu

そうですよね~私も疑問を持ちました(>_<)

2010/12/12 22:50:14
id:Haga No.13

Baka回答回数9ベストアンサー獲得回数12010/12/12 23:46:32

みんな必要条件しかいってなくない?

5<a<8 であれば三角形を構成できるって事はいわなくて良いの?

要するに証明はこう。

 みんながいっていることから、5<a<8である必要がある。

 逆に5<a<8であった場合、

a + b > 5 + b = c + b > c

b + c = 8 > a

c + a > c + 5 > c + b > b

 であるので、5<a<8であれば十分

 ∴5<a<8 が必要十分条件

2も同じだよね。

みんなのは必要条件、

逆にaの範囲を決めてから余弦定理から鋭角であることを示す必要があるんじゃない?

id:moon-fondu

う~ん、ちょっとHagaさんのご回答をうまく理解できないですね・・・すいません。

aの範囲は(1)の問題で求めて、(2)の問題で余弦定理から鋭角である条件を導出しているので、「aの範囲を決めてから余弦定理から鋭角であることを示す」ことができていると思うのですが・・・

2010/12/15 01:19:47
  • id:moon-fondu
    すいません、自明の事実でした!
    (1)で、aが最大辺であることが証明されているので、∠Aが△ABCの中で最大の角ですよね。
    つまり∠Aが、鋭角であることさえ示せば、∠Aよりも小さい∠Bと∠Cも鋭角であることは明らかですよね。
    お騒がせしました(>_<)
  • id:moon-fondu
    >rsc96074さん
    すいません、rsc96074さんが貼り付けてくださった、
    http://ameblo.jp/toyokunbenkyou/entry-10307561545.html
    の解説について、疑問が残りまして・・・

    ---------------------------
    cosθについて・・・
    1>cosθ={(2a-1)二乗-13・・・

    となる、aの範囲を求めれば良い・・・

    a<ー(√13)/2+1/2または、(√13)/2+1/2<aかつ・・・
    ---------------------------
    と、記載されていますが、なぜ「a<ー(√13)/2+1/2または、(√13)/2+1/2<aかつ-2<a<3、かつ2<a」が、導けるのでしょうか?

    私自身でやってみたものの、

    osθについて解くと、
    (2a-1)^2-13=-12cosθ
    12cosθ=-(2a-1)^2+13
    cosθ={-(2a-1)^2+13}/12
    cosθ={-(2a-1)^2+13}/12 >0

    という所までには至ったのですが・・・「a<ー(√13)/2+1/2または、(√13)/2+1/2<aかつ-2<a<3、かつ2<a」という、aについて複雑に場合分けされた解答には至ることができないのです(;_;)

    何度もお手数おかけして申し訳ないのですが、もしよろしければ、再度ご回答いただけないでしょうか?
    よろしくお願いします(>_<)
  • id:rsc96074
     Cosθへの変形は、あなたの方が正しいようです。
    >>
    (2a-1)二乗=9+4ー12cosθ
    <<
    (2a-1)^2=9+4-12cosθ
    この式で、cosθ=cとおいて、WolframAlphaで計算させてみました。
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%5B%7B%282a-1%29%5E2%3D9%2B4-12c%7D%2C%7Bc%7D%5D
     あなたの結果。
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28-%282a-1%29%5E2%2B13%29%2F12+

    >>
    a<ー(√13)/2+1/2または、(√13)/2+1/2<aかつ-2<a<3、かつ2<a(場合分けより)
    <<
     これですが、恐らく、
    a<ー(√13)/2+1/2または、(√13)/2+1/2<a ←たぶん、cosθ>0から
    かつ
    -2<a<3 ←たぶん、1>cosθから
    かつ
    2<a ←場合分けの「3<2a-1」から

     ちなみに、WolframAlphaで計算させてみると、こんな結果が出ました。
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%5B%7B1%3E1%2F3+%28-a%5E2%2Ba%2B3%29%3E0%2C2%3Ca%7D%5D

  • id:rsc96074
     混乱させてしまってすみません。(>_<;
     回答の最後のURLは、まとめのところが素晴らしかったので紹介しました。
    >>
    鋭角、鈍角条件は
    ①余弦定理に注目
    ②その際は、最大辺に注目
    <<
  • id:moon-fondu
    >rsc96074さん
    私の式で合ってたんですね!
    リンク先にある「a<ー(√13)/2+1/2」「(√13)/2+1/2<a」ではないということで・・・よかったです。

    Wolframでも、「Roots」の所でa=(1-√13)/2と、a=(1+√13)/2が出ているようですし(^_^;)

    でも、確認のため自分で再度計算してみたのですが、どうしてもa=(1-√13)/2とa=(1+√13)/2を導くことができませんでして・・・

    {-(2a-1)^2+13}/12 >0
    {-(4a^2-4a+1)+13}/12>0
    (-4a^2+4a+12)/12>0
    -a^2+a+3>0
    a^2-a-3<0

    まではいけたのですが・・・ここから、因数分解?を実施し、a=(1-√13)/2とa=(1+√13)/2を得るには、どうすればよいのでしょうか?
    度々すいません、もしよろしければ、お願いします(>_<)
  • id:rsc96074
     「2次方程式の解の公式」を使えばよいです。
    a^2-a-3<0で、a^2-a-3=0として、
    a={-(-1)±√[(-1)^2-4*1*(-3)]}/{2*(1)}
    =(1±√[1+12])/2
    =(1±√[13])/2
    ∴α=(1+√[13])/2,β=(1-√[13])/2として、
    ∴a^2-a-3=(a-α)(a-β)<0
    ∴α<a<β

    ※参考URL
    ●2次方程式の解き方
    http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/2jihouteisiki/henkan-tex.cgi?size=4&target=/math/category/kansuu/2jihouteisiki/2jihouteisiki-1.html
    ●2次関数と方程式・不等式
    http://members.jcom.home.ne.jp/dslender/kousiki/2jifu.html
     ちなみに、
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E2-a-3%3C0
     老婆心ながら、数学は分からないことがあったら、基本に戻ってみることも大事です。
    ちょっと簡単すぎかも知れませんが、こういうのもあります。
    ●高校講座HOME >> 数学Ⅰ >> 第24回 2次関数のグラフと2次不等式(1)
    http://www.nhk.or.jp/kokokoza/tv/suugaku1/archive/chapter024.html

  • id:moon-fondu
    rsc96074さんありがとうございます、理解できました!
    「3>2a-1」の場合も、また考えてみます!
  • id:moon-fondu
    3<2a-1の場合は、

    (1-√[13])/2<a<(1+√[13])/2

    というaの範囲を求めることができました。
    しかし、

    3>2a-1の場合は、

    3^2=2^2+(2a-1)^2-2・2・(2a-1)cosΘ
    9=4+4a^2-4a+1-4(2a-1)cosΘ
    -4a^2+4a+4=-4(2a-1)cosΘ
    -4(a^2-a-1)=-4(2a-1)cosΘ
    (a^2-a-1)/(2a-1)=cosΘ

    と、「2次方程式の解の公式」が使えないような、分数の式が出てきてしまいまして・・・こういう場合は、どのようにしてaの値を求めればよいのでしょうか?
    本当に、頼ってばかりですいません、もしよろしければで構いませんので・・・(>_<)
  • id:rsc96074
     問題がわからないときは、「似ている問題」を参考にすればよいです。似ている問題といえば、「3<2a-1の場合」がありましたね。そこでは、「0<cosθ<1」を使っていました。それで、
    0<(a^2-a-1)/(2a-1)=cosΘ<1
    とすれば、分母を払うと、2次不等式が2つできます。2a-1≠0∴a≠1/2として、
    0<a^2-a-1
    a^2-a-1<2a-1

  • id:moon-fondu
    ありがとうございます、rsc96074さんのアドバイスのおかげで解けました!

    ②3>2a-1の場合
    3^2=2^2+(2a-1)^2-2・2・(2a-1)cosΘ
    9=4+4a^2-4a+1-4(2a-1)cosΘ
    -4a^2+4a+4=-4(2a-1)cosΘ
    -4(a^2-a-1)=-4(2a-1)cosΘ
    cosΘ=(a^2-a-1)/(2a-1)>0

    cosθについて解くと、
    0<(a^2-a-1)/(2a-1)=cosΘ<1
    分母を払うと、
    0<a^2-a-1<2a-1

    (i)0<a^2-a-1
    2次方程式の解の公式より、a^2-a-1は、
    a={-(-1)±√(-1)^2-4・1・(-1)}/2・1
    =(1±√1+4)/2
    =(1±√5)/2
    ∴0<a^2-a-1
    0<{a-(1+√5)/2}{a-(1-√5)/2)

    (ii)a^2-a-1<2a-1
    a^2-3a<0
    a(a-3)<0
    ∴0<a<3

    (i)(ii)より、0<a<(1+√5)/2

    以上より、求めるaの範囲は、

    3<2a-1のとき (1-√13)/2<a<(1+√13)/2
    3>2a-1のとき 0<a<(1+√5)/2

    って感じですね!
    ありがとごうざいます(^_^;)
  • id:rsc96074
    3<2a-1のとき (1-√13)/2<a<(1+√13)/2 ←おしい!前提条件3<2a-1∴a>2を忘れています。
    3>2a-1のとき 0<a<(1+√5)/2 ←これは、前提条件a<2を忘れているのと、a^2-a-1>0は、「a<αまたはβ<a」型になります。(^_^;
  • id:moon-fondu
    質問を締めきってしまったのに、度々すいません(>_<)
    なのにお助けいただき、ありがとうございます!

    3<2a-1のとき 2<a<(1+√13)/2
    3>2a-1のとき (1+√5)/2<a<2

    ですね!
    √5は、富士山麓・・・でしたよね(^_^;)
    ありがとうございます!!

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません