1292742717 角の2等分線の性質を用いた長さおよび比を求める問題について、質問があります。

(1)の問題は、CD=2/3だと思うのですが、(2)と(3)はどう導けばよいのか頭を悩ませておりまして・・・よろしくお願いします(>_<)

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  • 1人5回まで
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  • 登録:2010/12/19 16:11:59
  • 終了:2010/12/24 23:50:28

ベストアンサー

id:otenki8 No.4

otenki8回答回数118ベストアンサー獲得回数122010/12/19 17:44:12

ポイント100pt

◆まず(1)ですが、一度解きなおしましょう。

 

下記公式を用います。

http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun.html

 

すると、

AB:AC = BD:DC (Ⅰ)

 

AB=6,AC=4,BD=4 を代入し、

6:4 = 4:DC

これを計算すると、

6CD = 16

CD = 16 / 6 = 8/3 (答え)

です。

 

 

◆(2)について

下記公式を用います。

http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun2.html

 

すると、

AB:AC = BP:CP (Ⅱ)

 

ここで、BP = BC + CP ですので、

(Ⅱ)は

AB:AC =(BC+CP): CP

となります。

 

AB=4, AC=3, BC=3 を代入し、

4:3 =(3+CP): CP

これを計算すると、

4CP = 3(3+CP)

4CP = 9+3CP

 

CP = 9 (答え)

です。

 

 

◆(3)

#この問題は、(1)の組み合わせで解けます。

 

#まず、三角形を時計回りに90度回してみると、ヒントがつかめると思います。

△BDAに着目して、

BD:BA = DI:AI (Ⅰと同じ意味)

→この右辺がこの問題と同じです。すなわち、

AI : ID = BA : BD  (Ⅲ)

# BA=7 ですので、BD が求められればこの問題が解けます。

 

ここで、図形を元の位置に戻してみると、

△ABCについて、

AB:AC = BD:DC (Ⅰ)

AB=7, AC=8 ですので、

7:8 = BD:DC  (Ⅳ)

になります。

 

さらに、DC = BC - BD = 9 - BD なので、(Ⅳ)に代入し、

7:8 = BD:(9 - BD)

8BD = 7(9-BD)

15BD = 63

BD = 63/15 = 21/5 (Ⅴ)

 

さあ、答えまでもう少しです。

 

(Ⅴ)で求めた値と、BA=7 を(Ⅲ)に代入し、

AI : ID = 7 : 21/5

= 35 : 21

= 5 : 3 (答え) 

です。

 

以上、長文失礼いたしました。

id:moon-fondu

ありがとうございます!

2010/12/24 23:47:43

その他の回答(3件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4380ベストアンサー獲得回数3982010/12/19 18:02:26

ポイント80pt

(1)△ABCにおいて、ADは∠Aの2等分線であるから、AB:AC=BD:DC

∴6/4=4/CD

∴6CD=16

∴CD=8/3

(2)△ABCにおいて、APは∠Aの外角の2等分線であるから、AB:AC=BP:PC

∴4/3=(3+CP)/CP

∴4CP=3(3+CP)

∴CP=9

(3)ACとBIの延長線の交点をEとすると、

△ABCにおいて、ADは∠Aの2等分線であるから、AB:AC=BD:DC

∴BD:DC=7:8

∴DB:BC=7:(7+8)

∴DB/BC=7/15・・・①

同様に、△BCAにおいて、BEは∠Bの2等分線であるから、BC:BA=CE:EA

∴CE:EA=9:7

∴CE/EA=9/7・・・②

 メネラウスの定理から、

(AI/ID)(DB/BC)(CE/EA)=1・・・③

①②③から、

(AI/ID)(7/15)(9/7)=1

∴AI/ID=5/3

∴AI:ID=5:3

●角の二等分線の性質を狩る [PDF]

http://izumi-math.jp/F_Nakamura/toubun/toubun.pdf

●高等学校数学A 平面図形 - Wikibooks

>三角形の角の2等分線と辺の比

>三角形の外角の2等分線と辺の比

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A...

●チェバの定理メラニウスの定理は双子の定理

http://club.pep.ne.jp/~asuzui/page11.html

id:moon-fondu

遅くなってすいません、ありがとうございます!

理解できました!!

2010/12/24 23:46:53
id:oziyashigeki No.2

おじやしげき回答回数1ベストアンサー獲得回数02010/12/19 17:26:11

ポイント5pt

(3)は、まず∠BACの二等分線の関係からBDの長さがわかります。

そこで、∠ABDの二等分線の関係からAI:IDの比率がわかります。

(2)は、三角形ABCにおいて、辺APは∠Aの外角の二等分線なので、三角形の角の二等分線に関する公式2(外角に関する公式)

を用いれば解けます。

これで解けると思いますので、頑張ってといてみてください。

id:moon-fondu

ありがとうございます。

2010/12/24 23:47:04
id:Happisee714 No.3

はぴすぃ714回答回数43ベストアンサー獲得回数72010/12/19 18:02:21

ポイント90pt

「角の2等分線の定理」

△ABCにおいて、∠Aの2等分線とBCの交点をDとするとき、

 BD:DC=AB:AC

http://yosshy.sansu.org/theorem/kaku2tobun.htm


「外角2等分線定理」

△ABCで∠Aの外角の2等分線とBCの延長線との交点をDとするとき、

 BD:DC=AB:AC

http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun2.html

この2つの定理を使って解きます。



(1)

「角の2等分線の定理」より、

BD:DC=AB:AC

 

分かる長さを代入して、

4 :DC= 6 : 4

 

よって、DC=8/3

       


(2)

「外角2等分線定理」より、

    BP:PC=AB:AC

    BP×AC=PC×AB

(BC+PC)×AC=PC×AB


分かる長さを代入して、

( 3 +PC)× 3 =PC× 4

 9 + 3PC  =4PC

      PC =9



(3)

△ABCに対して「角の2等分線の定理」より、

 BD : DC =AB:AC

 BD :(9-BD)=AB:AC

 BD×AC = (9-BD)×AB


分かる長さを代入して、

 BD× 8 = (9-BD)× 7

  8BD  = 63-7BD

  15BD = 63

  BD   = 21/5 


△ABDに対して「角の2等分線の定理」より、

AI:ID = AB:BD

 

分かる長さを代入して、

AI:ID = 7 :21/5 

      = 5 : 3



もしミスがあったら指摘してください。

id:moon-fondu

ありがとうございます、理解できました!

2010/12/24 23:48:37
id:otenki8 No.4

otenki8回答回数118ベストアンサー獲得回数122010/12/19 17:44:12ここでベストアンサー

ポイント100pt

◆まず(1)ですが、一度解きなおしましょう。

 

下記公式を用います。

http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun.html

 

すると、

AB:AC = BD:DC (Ⅰ)

 

AB=6,AC=4,BD=4 を代入し、

6:4 = 4:DC

これを計算すると、

6CD = 16

CD = 16 / 6 = 8/3 (答え)

です。

 

 

◆(2)について

下記公式を用います。

http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun2.html

 

すると、

AB:AC = BP:CP (Ⅱ)

 

ここで、BP = BC + CP ですので、

(Ⅱ)は

AB:AC =(BC+CP): CP

となります。

 

AB=4, AC=3, BC=3 を代入し、

4:3 =(3+CP): CP

これを計算すると、

4CP = 3(3+CP)

4CP = 9+3CP

 

CP = 9 (答え)

です。

 

 

◆(3)

#この問題は、(1)の組み合わせで解けます。

 

#まず、三角形を時計回りに90度回してみると、ヒントがつかめると思います。

△BDAに着目して、

BD:BA = DI:AI (Ⅰと同じ意味)

→この右辺がこの問題と同じです。すなわち、

AI : ID = BA : BD  (Ⅲ)

# BA=7 ですので、BD が求められればこの問題が解けます。

 

ここで、図形を元の位置に戻してみると、

△ABCについて、

AB:AC = BD:DC (Ⅰ)

AB=7, AC=8 ですので、

7:8 = BD:DC  (Ⅳ)

になります。

 

さらに、DC = BC - BD = 9 - BD なので、(Ⅳ)に代入し、

7:8 = BD:(9 - BD)

8BD = 7(9-BD)

15BD = 63

BD = 63/15 = 21/5 (Ⅴ)

 

さあ、答えまでもう少しです。

 

(Ⅴ)で求めた値と、BA=7 を(Ⅲ)に代入し、

AI : ID = 7 : 21/5

= 35 : 21

= 5 : 3 (答え) 

です。

 

以上、長文失礼いたしました。

id:moon-fondu

ありがとうございます!

2010/12/24 23:47:43

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