【至急!!】数学

x^2+y^2+z^2≦a^2 から x^2+y^2=b^2(a>b>0)が切り取る立体の体積はどのように出すのでしょうか?
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  • 登録:2011/01/21 12:28:12
  • 終了:2011/01/21 23:04:49

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4387ベストアンサー獲得回数4012011/01/21 14:06:42

ポイント35pt

 こちらは参考になるでしょうか。球から円柱が切り取る体積になっているようです。

 対称性から、半分だけ考えて、求める体積をV、c=√(a^2-b^2)とすると、

V/2=π∫[0,c](b^2)dz+π∫[c,a]{(√(a^2-z^2))^2}dz

∴V/2π=(b^2)∫[0,c]dz+∫[c,a](a^2-z^2)dz

∴V/2π=(b^2)[z][0,c]+[a^2z-z^3/3][c,a]

∴V/2π=(b^2)c+[a^2z-z^3/3][c,a]

∴V/2π=(b^2)c+{(a^3)-a^3/3}-{(a^2)c-c^3/3}

∴V/2π=(b^2)c+2(a^3)/3-(a^2)c+(c^3)/3

∴V/2π=2(a^3)/3+(c^3)/3-{(a^2)-(b^2)}c

 c^2=a^2-b^2だから、

∴V/2π=2(a^3)/3+(c^3)/3-c^3

∴V/2π=2(a^3)/3-2(c^3)/3

∴V/2π=(2/3)(a^3-c^3)

∴V=(4π/3)(a^3-c^3)

∴V=(4π/3){a^3-(a^2-b^2)√(a^2-b^2)}

※参考URL

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2pi%28integrate%5B%7Bb%5E2%...

その他の回答(1件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4387ベストアンサー獲得回数4012011/01/21 14:06:42ここでベストアンサー

ポイント35pt

 こちらは参考になるでしょうか。球から円柱が切り取る体積になっているようです。

 対称性から、半分だけ考えて、求める体積をV、c=√(a^2-b^2)とすると、

V/2=π∫[0,c](b^2)dz+π∫[c,a]{(√(a^2-z^2))^2}dz

∴V/2π=(b^2)∫[0,c]dz+∫[c,a](a^2-z^2)dz

∴V/2π=(b^2)[z][0,c]+[a^2z-z^3/3][c,a]

∴V/2π=(b^2)c+[a^2z-z^3/3][c,a]

∴V/2π=(b^2)c+{(a^3)-a^3/3}-{(a^2)c-c^3/3}

∴V/2π=(b^2)c+2(a^3)/3-(a^2)c+(c^3)/3

∴V/2π=2(a^3)/3+(c^3)/3-{(a^2)-(b^2)}c

 c^2=a^2-b^2だから、

∴V/2π=2(a^3)/3+(c^3)/3-c^3

∴V/2π=2(a^3)/3-2(c^3)/3

∴V/2π=(2/3)(a^3-c^3)

∴V=(4π/3)(a^3-c^3)

∴V=(4π/3){a^3-(a^2-b^2)√(a^2-b^2)}

※参考URL

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2pi%28integrate%5B%7Bb%5E2%...

  • id:rsc96074
     2重積分を使えば、こちらでもいけます。参考まで。
     対称性から、x,y,z≧0の部分だけ求めて8倍すればよいから、
    V/8=∬_D √(a^2-(x^2+y^2))dxdy
    =∫[0,π/2]dθ∫[0,b]√(a^2-r^2)rdr
    =(π/2)[-(1/3)(a^2-r^2)^(3/2)][0,b]
    =(π/6){a^3-(a^2-b^2)^(3/2)}
    ∴V=(4π/3){a^3-(a^2-b^2)^(3/2)}

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