【至急!!】数学

柱面 x^2+y^2=a^2(a>0)の内部にある曲面 z=xy の面積はどのように求めるのでしょうか?
よろしくお願い致します。

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  • 登録:2011/01/21 12:30:32
  • 終了:2011/01/21 23:04:09

回答(3件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4391ベストアンサー獲得回数4022011/01/21 16:09:09

ポイント36pt

 参考URLの公式より、

 z_x=∂z/∂x=y, z_y=∂z/∂y=x

∴S=∬_D √(1+x^2+y^2)dxdy

極座標変換して、x = r cosθ; y = r sinθ

 S=∫[0,2π]dθ∫[0,a]√(1+r^2)rdr

=2π∫[0,a]√(1+r^2)rdr

1+r^2=tと置くと、dt=2rdr∴rdr=(1/2)dt

∴S=π∫[1,1+a^2] √(t)dt

=π[(2/3)t^(3/2)][1,1+a^2]

=(2π/3)[t^(3/2)][1,1+a^2]

=(2π/3)[{(1+a^2)^(3/2)}-1] ←ここで止めてもよい。

∴S=(2π/3){(1+a^2)√(1+a^2)-1}

●3.12 曲面積

http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2005.calculus-II/htm...

●[PDF] 13 体積、曲面積

http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/higuchi/h18kogi/sect13.pdf

 もしかして、大学の教養の問題ですか。ならば、前問も2重積分を使えば、

 対称性から、x,y,z≧0の部分だけ求めて8倍すればよいから、

V/8=∬_D √(a^2-(x^2+y^2))dxdy

=∫[0,π/2]dθ∫[0,b]√(a^2-r^2)rdr

=(π/2)[-(1/3)(a^2-r^2)^(3/2)]

=(π/6){a^3-(a^2-b^2)^(3/2)}

∴V=(4π/3){^3-(a^2-b^2)^(3/2)}

id:suppadv No.2

suppadv回答回数3552ベストアンサー獲得回数2682011/01/21 20:51:29

ポイント9pt

解法のヒントがありました。参考になりますか。

ちょっと時間がないので、後でもう一度良く考えて見ます。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1314257...

id:suppadv No.3

suppadv回答回数3552ベストアンサー獲得回数2682011/01/21 22:25:10

ポイント35pt

同じ質問が見つかりました。

曲面z=xyの円柱x^2+y^2=a^2の内部の曲面積を求めよ

z=xy,x^2+y^2<a^2

∂z/∂x=y,∂z/∂y=x

∬dxdy/√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2)=∬rdrdθ/√(1+r^2)

ここで、t=1+r^2とおくと、

dt=2rdr,1<t<1+a^2となり、積分は

∫[0,2π]dθ∫(1/2)dt/√t

=2π[t^(1/2)]

=2π(√(1+a^2)-√1)

=2π(√(1+a^2)-1)

http://whs-math.net/math/sec3482.html

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