ある店の顧客(母集団数M)のある期間内(S)の来店確率Pを一定としたときに、観察している時間(T)の顧客ごとの来店回数(X)と、その回数を来店した人数(n)の積(X*n)は、どのような分布に従うのでしょうか? X軸を頻度、Y軸をX*nのとったらどんな関数になるのでしょう。

ポアソン分布のような気がするのですが、十分に長い時間をとれば、0回はなしになりますし、個別に人を識別するので、ちょっと違うような気がします。
具体的な例としては、1年間にある店に訪れる顧客の来店回数(X軸)と来店回数 × その来店回数の顧客数(Y軸)です。

回答の条件
  • 1人2回まで
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  • 登録:2011/02/07 02:22:39
  • 終了:2011/02/09 16:35:14

ベストアンサー

id:LaLaLa No.1

LaLaLa回答回数4ベストアンサー獲得回数32011/02/09 00:00:08

ポイント60pt

a = P/Sとおきます。aは特定の顧客が単位時間の間に来店する確率です。

時刻0から時刻tまでの間に、特定の顧客が来店しない確率をp0(t)、1回だけ来店する確率をp1(t)、2回だけ来店する確率をp2(t)、...とします。これらは次の連立微分方程式系を満たします。

d p0/dt = -a p0(t)

d p1(t)/dt = +a p0(t) - a p1(t)

d p2(t)/dt = +a p1(t) - a p2(t)

...

t=0での初期条件は p0(0) = 1, p1(0) = 0, p2(0) = 0, p3(0) = 0, ... です。

この連立方程式系は上から順に解いていくことができます。結果は

p0(t) = exp(-at)

p1(t) = at exp(-at)

p2(t) = a/2 t^2 exp(-at)

...

p_n(t) = a/n! t^n exp(-at)

...

です。横軸にn、縦軸にn*m*p_n(T) すなわち ma/(n-1)! T^n exp(-aT) をとればお求めのグラフになります。

ポアソン分布からのずれは、nを掛けるところだけだと思います。

id:isogaya

ありがとうございます。これでグラフ書いてみます。

2011/02/09 16:34:57
  • id:LaLaLa
    すみません。aのべきで計算ミスをしました。正しくは次のようになります。

    p2(t) = 1/2 (at)^2 exp(-at)
    ...
    p_n(t) = 1/n! (at)^n exp(-at)
    ...
    横軸にn、縦軸にn*m*p_n(T) すなわち m/(n-1)! (aT)^n exp(-aT) をとればお求めのグラフになります
  • id:isogaya
    どうもです。Rでグラフ書くのにチャレンジしてみます。

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