【うそさく探検記】秘境に行った探検隊、運良く秘宝を発見しました。直径が約50cm位ある金の球を発見しました。でも、真中に円柱状の穴が空いてます。実に正確な円形(真円)で真直ぐ、貫いています。早速、隊長のA先生が球や円の直径、(真円の)穴の長さを正確に測り、複雑な計算をやりだしました。傍で様子を見ていたB助手が、「穴の長さは?」と尋ね、「正確に40cm」と聞くと、タチマチ体積を計算してしまいました。しばらくしてA先生も計算が終わりましたが、B助手と答えが同じと気付き、「まぐれだ」と思いました。しかし、その後同じ形状の穴あき球がゴロゴロ出てきました。球の直径や穴の直径や長さはいろいろでした。ここでもA先生とB助手が計算しましたが、A先生よりB助手が数倍速く正確な体積を計算しました。A先生はその秘密を知りたくて、探検に身が入りませんでした。おわり

さて、1.B助手が出した体積をお答えください円周率は3.14で計算、体積はcm^3の桁までお答えください。2.B助手はどうしてこんなに簡単に計算できたのでしょうか?

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2011/02/08 22:45:09
  • 終了:2011/02/14 22:31:15

ベストアンサー

id:ryotatupashuma No.2

やっふぃー回答回数15ベストアンサー獲得回数12011/02/09 10:08:33

ポイント24pt

1.100480/3 cm^3

2.B助手が直径40cmの穴があいた直径50cmの球は直径40cmの球の体積と等しいことを知っていたから。

id:YAMADAMAY

数値は正解ですが、1は計算してほしかったなぁ。33493立方cmと

2も当たっています。

2011/02/14 18:01:19

その他の回答(3件)

id:loio No.1

loio回答回数342ベストアンサー獲得回数502011/02/09 00:57:20

ポイント40pt

4PIr^3/3= 4/3*3.14*(40/2)^3

=33493[cm^3]

理由:問題がとんち問題でない場合、穴の長さがわかれば球の直径と穴の直径にかかわらず一定の体積になるはずである。(他に条件が提示されていないので)。穴の直径を0に近づければ、それは直径40cmの球であるので、その体積を求めた。

PIの有効桁数に比べて答の有効桁が長すぎるのが不安要因ですが、これでFAといたします。

id:YAMADAMAY

正解です。1も2もあたってます。さすがー、円周率を3に設定しようかとも思ったのですが

どっかの指導要綱のようであまり好きでなかったので。

2011/02/14 17:56:10
id:ryotatupashuma No.2

やっふぃー回答回数15ベストアンサー獲得回数12011/02/09 10:08:33ここでベストアンサー

ポイント24pt

1.100480/3 cm^3

2.B助手が直径40cmの穴があいた直径50cmの球は直径40cmの球の体積と等しいことを知っていたから。

id:YAMADAMAY

数値は正解ですが、1は計算してほしかったなぁ。33493立方cmと

2も当たっています。

2011/02/14 18:01:19
id:gguide-ru No.3

こーへー回答回数13ベストアンサー獲得回数12011/02/09 16:13:40

ポイント35pt

1.考えれば考えるほど分からなかったのでもう単純に回転体として計算しました。

  外れまくってる可能性がありますが、

  円柱の長さと直径の関係から円柱の直径が30とでるので・・・

  7326.67cm^3 ・・・?あぁ自信がない


2.仮説。実はその金の球はインゴットだった。

  助手Bは金の比重19.32g/cm^3より

  142kgとかしっかり重さが実は書いてあった・・・ って言ったらなぜ円柱の長さを聞いたのかが不明。


  仮説。円柱の長さと球の直径の関係式を発見してすぐに頭の中で立てた。助手Bが暗算検定段位取得者   の類なら3乗や分数の計算なんて朝飯前だった。

  ・・・助手B君行く学部を間違えたか?



gguide-ruはその秘密を知りたくて、受験に身が入りませんでした。おわり

id:YAMADAMAY

1.少し計算間違いをしているようです。直径約50cmの球に直径30cmの穴を空けてこの数値は出ない。

2.球は当然、無垢です、がコメントの「純金」は引っ掛けです、体積計算に材質は直接関係ありません。

まぁ全ての穴あき球に重さが書いてあったとすれば、「純金」は重要なヒントですが。

質問文に「直径が約50cm位ある球」と書いてあるので「直径が約30cm位ある円柱」が正しい表現だと思います。・・・「直径が約30cm位ある円柱」では体積が正確には出せないと言われるかも知れませんが、これも「引っ掛け」でワザと計算しやすい数字をちらつかせました。

「gguide-ruはその秘密を知りたくて、受験に身が入りませんでした。」とありますが、本当に受験生ならば、コメント1の注意書きを破った事になりますので、「即退場」処分ですが、恐らくジョークだろうと思いますので、ジョーク点を加算します。

「助手Bが暗算検定段位取得者」と有りましたが、あなたは計算間違いの無い様、受験合格をいのります。 

2011/02/14 18:41:08
id:karuishi No.4

ニャンざぶろう回答回数764ベストアンサー獲得回数1282011/02/11 22:55:48

ポイント25pt

1.問題の球の体積は、半径20cmの球の体積に等しいので

 4/3πr^3=4/3*3.14*20*20*20=33493.3     A.33493cm^3

 

2.助手さんは、

 http://q.hatena.ne.jp/1239028465を既に読んでいたのでしょう。

 つまり「中心を貫通する円形の穴の開いた球の体積は、穴の深さの直径の球の体積に等しい」

 ということを知っていたのです。

 4/3πが、約4.1888だということも覚えていたかもしれません。

 

P.S.

 なぜこうなるかというのは

 http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/ktaiseki/ktaiseki.htm

 を参照ください。

 

 球の中心に円柱状の穴が開いた状態は、

 右の臼型の外側が同じ体積分削られているのと同じです。

 

 もし球に開いた穴の深さが40cmなら、臼型の高さ=臼型の直径も40cmとなり

 直径40cmの球の体積と同じ体積になるのです。

id:YAMADAMAY

さすが、完璧な答の様ですが、この程度の問題で、他のURLに書いてある事の参照はあまり好きではありません。

2011/02/14 18:44:35
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2011/02/08 22:48:43
    注意:受験生は手をつけないように!
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2011/02/08 23:40:24
    質問字数が500文字以内は少なすぎる。冗長および正確な文章は書きにくい。
    創作(そう・さく)を捩って、(うそ・さく)嘘作です。

    ◎ 体積の回答はB助手の1番目の答えだけで結構です。
    ◎ B助手が使った手法は、その後発見されたもの全てに使われたとします。
    ● 穴あき球は全て無垢の純金とします。
    ● これ以上の絞込み条件は回答の面白さをなくしますので控えます。

    回答をできるだけ多く集める為に、開くのは5,6日後にする予定です。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2011/02/09 22:04:51
    「正確な円形(真円)で真直ぐ、貫いています。」・・・表現に正確性が欠けていました。「中心部を真直ぐ、(真円)で対極まで貫いています。」
    穴の形(球と穴の境界)は真円です。・・・と言うことです。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2011/02/14 12:56:06
    [創作(そう・さく)を捩って、(うそ・さく)嘘作です。]
    と、書きましたが、も一歩「ウソ・クサ」にすべきでした。まだまだですね。

  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2011/02/14 22:29:24
    みなさん、ありがとうございました。私の質問の狙いは「問題を解くのに、必要な条件と不要な条件が如何に速く見分けられるか」でした。
    もともと、中2位を対象にしてました、そのため開けるのを遅くしていたのですが。
    1の答えは皆さんが答えられたように4/**π*(20*20*20)=33493[cm^3]でした.
    2は皆さんが答えられたように『「中心を貫通する円形の穴の開いた球の体積は、穴の深さの直径の球の体積に等しい」 と言うことを経験からか、何か他から得て知っていたと思います。だから「答えは」と書かなかった。
    loioさんは瞬殺ですね、ryotatupashumaさんは最後の計算で手抜き?があったようなので1点引きます。
    gguide-ruさんは答えは計算間違いのようでしたし、2つの罠?に嵌っていて(でも上手く使ったところもあり)、まともな問題としては評価は落第点なのですが、冗談としては只一人の回答者でした。平均点-10(間違い)-10(罠に嵌った)+10(上手くすり抜けた)+10(面白さ)+20(冗談点)
    karuishiさんは標準的な回答ですね、
    必要配点の平均点は90/4=22.5です。
    今回は「いるか」はryotapashumaさんに。---最優秀に「いるか」が行くとは限らない??


    私が球の直径(R)も中心円柱の直径(r)も結果に関係ない事を証明する為、計算した式が下記です。稚拙ですが。
    球や円柱の体積の求め方が分かればその延長として、(簡潔な式が)導かれるはずです。
    --------------------------------------------------------------------------------
    球の半径をR 体積(V)=4/3*π*R^3 
      ----半球で計算----
    半球の体積(V0)=2/3*π*R^3
    穴の部分の円柱の高さをH2、半径をr、半分の高さをh2、半体積(V2)=πr^2*h2
    穴の冠、底部分の部分球1つの高さをh1、体積(V1)=π(h1^2(R-h1/3)) となる。

    ここでR=h1+h2、だからr=√{R^2-h2^2}=√{(h1+h2)^2-h2^2}
    =√{h1^2+2*h1*h2+h2^2-h2^2}=√{h1^2+2*h1*h2}となる
    V0=2/3*π*(h1+h2)^3=π/3*2(h1^3+3*h1^2*h2+3*h1*h2^2+h2^3)
    V1=π/3*3*(h1^2*(h1+h2-h1/3))= π/3*(2*h1^3+3*h1^2*h2)
    V2=π/3*3*((h1+h2)^2-2*h1*h2)*h2 =π/3*3*(h1^2*h2+2*h1*h2^2)
    ------更に π/3で割り、計算----(共通の倍数を取る)
    ここでVx0=π/3 *V0; Vx1=π/3*V1; Vx2=π/3 *V2 と置くと
    Vx0=2*(h1^3+3*h1^2*h2+3*h1*h2^2+h2^3)
    Vx1= (2*h1^3+3*h1^2*h2)
    Vx2= 3*(h1^2*h2+2*h1*h2^2+)

    Vx=Vx0-vx1-vx2=2*h1^3+6*h1^2*h2+6*h1*h2^2+2*h2^3
    -2*h1^3-3*h1^2*h2
    -3*h1^2*h2-6*h1*h2^2=2*h2^3
    ここで―――本来の式に戻す
    本来求めるべき体積は Vx*π/3*2だから 4/3π*(h2^3) となる。
    以上から、穴あき球の体積は、穴の高さの半分を半径とした球の体積となる. 証明終わり
    --------------------------------------------------------------------------------
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2011/02/14 22:36:12
    各回答者に「流れ星」(なぜかハート型に・バレンタインデーだからかな?)のばら撒きをしておきました。
  • id:loio
    すいません。私の答えたのは、助手がどうやって解いたかではなくて、私がどうやって答を導いたか。ですね。
    >>
    経験からか、何か他から得て知っていたと思います
    <<
    いやしらんかった。
  • id:gguide-ru
    冗談点!私にとってはこの上ない名誉です
    あらためて計算したところ回転体とする段階での二乗計算でミスがありました。

    中心を貫通する円形の穴の開いた球の体積は、穴の深さの直径の球の体積に等しい
    というのは単純に勉強不足でした。
    おかげでまんまとはまりました。参りましたの一言でございます。

    尚AO受験でしたので正しくは受験済み生、そのことでほんのわずかにでもご心配をおかけしたようでしたら
    お詫びもうしあげます。

    長くなりましたが2問とも不正解だったのでポイントは完全に諦めていましたが
    寛大な採点をしていただき心より感謝いたします。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2011/02/14 23:44:58
    loioさん 回答欄での指摘「PIの有効桁数に比べて答の有効桁が長すぎるのが不安要因ですが、これでFAといたします。」を逆方向の返答で済ませたことをお詫びいたします。確かに、答えの有効桁数が5桁なのに3桁のπを用いてよいのか・・・はっきり言って、精度的に意味なしになります。
    有効桁数が多い係数を掛け最後に切り捨て、切り上げ、四捨五入をするのが正しいやり方です。
    因みに3.14 3.14159 3.141592653でやってみました
    3.14の時      33493.33333=>33493  3ならば32000
    3.14159の時    33510.29333=>33510
    3.141592653の時  33510.32163=>33510 となり 17cm^3も誤差がありますね。 33.5(dm^3)=(リットル)位の精度を考えていたものですから。今後はこのようなことの無いように質問作成時に気をつけます。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2011/02/15 12:45:06
    loioさん、先のコメントでもややこしい事を書いてしまいました。「計算は楽な方が良い」と思い3.14や3を書いてしまったのですが、3.14を適用しても、結果の有効桁数を3桁の指定(または100cm^3単位に丸める指定)をすればよかったのですね。コメント後気が付きました、再度の失礼すみません。
  • id:loio
    私が問題出すなら、PIは3.14とする。とだけ書いて、答の有効桁が3桁でないものは減点かなぁ。穴の深さ40cmも、mmくらいがせいぜいと思いますし。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2011/02/15 23:35:51
    karuishiさん あなたの回答を読み返して、有効桁数での失態以上の、大失態を犯していることが分かりました。
    『2.助手さんは、 http://q.hatena.ne.jp/1239028465を既に読んでいたのでしょう。
     つまり「中心を貫通する円形の穴の開いた球の体積は、穴の深さの直径の球の体積に等しい」
     ということを知っていたのです。』が既に質問されていた事を完全に見落としていました。
    全く同じ問題があったことを気付かせていただきありがとうございました。穴があったら入りたい、直径30cmの穴ならはいれるかな? 


    『 http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/ktaiseki/ktaiseki.htm を参照ください。』は面白い事に気付かせていただきました。

     臼型(コロッセウム型)の{甲子園球場}を、ドーム型(部分球型)の{東京ドーム=後楽園球場}に容易に変換できるという事。
    しかし「甲子園飴」というのが有りますがこれは東京ドームでは食べられませんね。-----こーら食えん、という事。


  • id:karuishi
    有効数字ですが、本当に「金」の球だったら
    3桁で3.14だとすごい金額分が誤差になりますねw

    科学的な手段としては助手は
    ストレインゲージのような超薄型の秤でこっそり重さを計っていた
    高精度の計測器で形状スキャンして体積を自動計測していた。
    とか、

    ミステリー調なら
    金球を置いたのは実は助手による教授を貶める陰謀だった。
    (予め体積は知っていた)
    助手にしてやられた教授は失意のうちに洞窟の滝壷に転落死し
    助手が教授になりかわって昇進するのですね。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2011/02/20 11:52:35
    karuisiさん、面白いエピローグストーリーをありがとうございました。私はそこまで陰謀的に考え付きませんでした。
    誤差分の金を売りに行く位です。
    でも、本当は純粋に「質問の設定ミス」です。
    gguide-ruさん、「質問の設定ミス」をした私が言うのは「盗人の言葉にも3分の理」として聞いてください。
    社会での(学校への入試でも同じでしょうが)資格試験には、引っ掛けや余計な記述が度々あります。その辺を上手くパスできれば、難しい問題を良く考える時間の余裕ができます。例えば、五択問題なんか、(60%は確実に正答がわかるとすれば)2つか3つは一目で誤りが有り考えなくても良いことが分かります。後の3つか2つをどれを選んでも合格点はとれます。そうすれば半分の時間程度で全問解答できるはずです。後は記入ミス、記入もれ、勘違いが無いかチェックのみ。

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