【カンニングの期待値】

 
以下の条件のテストがあるとします。

◯☓形式の2択問題で、1問1点の100問テスト。
受験生全体の正答率は70%で、合格最低点は75点。
受験倍率は1,5倍。受験者数は150人。
私は問題に対する知識が全く無いので、当てずっぽうで◯☓を書くか、
自分の右側、左側、前方の三人の受験者の解答を見て写すか、
いずれしかできないものとします。
三人の解答はすべて丸見えで、
それをカンニングしても試験官にも他の受験生にもバレないものとします。
また、三人の学力を私は全く把握できていないものとします。

仮にすべての問題を当てずっぽうで回答すると、
期待値は50点になるだろうと思います。
もし三人の内、誰かの解答のみを丸写しにした場合、
期待値は70点になるだろうと思います。
では、三人の解答を総合して、
三人とも同じ、または二人が同じ解答をした方に自分も解答した場合、
期待値はどのぐらい上がるのでしょうか?または上がらないのでしょうか

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2011/03/05 09:13:36
  • 終了:2011/03/12 04:07:27

ベストアンサー

id:imo758 No.6

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192011/03/05 23:03:03

ポイント40pt

正答の確率を P 、誤答の確率を Q 、P >= Q、P + Q = 1 とします。

n 人の正誤のパターンと確率は二項展開のように考えることができて…

( P + Q )^n

で考えることができます。

■カンニング対象が 0 人のとき:

\frac{1}{2}です。

■カンニング対象が 1 人のとき:

パターンと出現確率は

P + Q

ですから、正答率は P になります。


■カンニング対象が2人のとき:

パターンと出現確率は

 P^2 + 2PQ + Q^2

ですから、正答率は

\frac{P^2}{P^2 + Q^2}(P^2 + Q^2) + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2PQ}{\cdot}2PQ

= P^2 + PQ

= P(P + Q)

= P

と、1人だけカンニングした場合と同じになります。

■上の計算からもわかるとおり、正答率は

二項展開のうちPの次数がQの次数以上になる半分だけを足し合わせることと同じです。次数が同じ項は半分だけ足します。

■カンニング対象が3人のとき、正答率は

P^3 + 3P^2Q

= P^2(3 - 2P)

となります。 P = 70% の場合は 78.4%になります。

■同じく4人の場合の正答率は

P^2(3 - 2P)となります。3人の場合と同じです。

■実のところこのケースでは、偶数人をカンニングして稼げる正答率は、ひとり少なくカンニングして稼げる正答数と等しくなります。

というのも最後のひとりを参照するとき、正答数がひとり上回っているパターンと誤答数がひとり上回っているパターンからそれぞれ同確率だけ、正答と誤答が同数のパターンへと移行するからです。

■逆に偶数人からさらに1人カンニングを増やすとき、正誤拮抗しているパターンが、正答の方が1人多いパターンと誤答の方が1人多いパターンに分かれるので、正答率を上げることができます。

■無限にカンニング対象を増やせば、正答率はいくらでも100%に近づけることができます。

その他の回答(6件)

id:tdoi No.1

tdoi回答回数174ベストアンサー獲得回数752011/03/05 11:53:01

ポイント45pt

100問すべての正答率は同じであることを仮定します。

ある1問を考えたときに、状況としては、

3人とも正解:1 * 0.7 * 0.7 * 0.7 = 34.3%

2人だけ正解:3 * 0.7 * 0.7 * 0.3 = 44.1%

1人だけ正解:3 * 0.7 * 0.3 * 0.3 = 18.9%

0人だけ正解:1 * 0.3 * 0.3 * 0.3 = 2.7%

となり、3人の回答をカンニングして多数決で決定すれば、正答となる確率は、34.3 + 44.1 = 78.4%です。

すると、カンニングすることによって得られる点数の期待値としては、78.4点になります。

id:nobnob3 No.2

考え中回答回数324ベストアンサー獲得回数292011/03/05 17:19:05

ポイント38pt

もう答えが出ていると思いますが(私が3人目の未読回答者)、一応計算したので書いてみます。


100問の問題の難易度が均一で、

自分の周り(前と左右)に座る受験生もランダムに座ると仮定すると、


問題数とかはこの際、関係ないと思います。

正答率が70%とすると、前、左、右の3人の内、無作為に選んだ一人のある一問の正答率も70%になります。

次に、3人の答えが同じ場合、この3人が正答する確率を計算します。

3人が間違える可能性は30%なので、1-0.3x0.3x0.3を計算すると97.3%になります。

同様に、二人の答えが同じで一人のみ答えが違う場合を計算すると、

1-0.3x0.3x0.7で93.7%になります。

よって、独りの回答を写す(70%)よりも、3人の回答を総合して回答する(90%以上)ほうが、

正答率(期待値)が上がります。


問題で少し気になるのは、受験倍率と合格最低点です。

仮に、受験生の得点が70%を平均として、正規分布していたとすると、

合格最低点が75点ということは、平均から5点プラスの点数が、上位100人ということになります。

これは、ちょうど70点の得点をとった生徒は全体の中央(150/2=75位)にいるはずなので、矛盾します。


例えば、受験者数が1000人で、合格者数が100人という倍率10倍として、これまでの条件はそのままに考えると、

合格最低点が75点ということは、平均から5点プラスの点数が、上位100人(全体の上位10%)ということになるので、


平均0、標準偏差1の正規分布で上位2.5%が1.96、上位10%が1.28ということを利用すると


70+1.28xSD=75 (SDはこの受験生全体の標準偏差)

よって、SD=3.9の母集団が受験をしていたことになります。

id:hayatoito No.3

hayatoito回答回数1ベストアンサー獲得回数02011/03/05 18:50:38

ポイント45pt

すべての問題は、単純なマルバツ問題で、

3人それぞれは、独立して、それぞれの問題に70% (p = 0.7) で正答の方を選ぶと仮定します。

この場合、ある問題に対して、

  • 3人が正解する確率 P(3) = p^3
  • 2人が正解する確率 P(2) = 3 * p^2 * (1-p)
  • 1人が正解する確率 P(1) = 3 * p * (1-p)^2
  • 0人が正解する確率 P(0) = (1-p)^3

です。

3人の回答が同じ場合は、その方に自分も回答した場合、それが正解である確率は、

P(3) /( P(0) + P(3))

2人の回答が同じ場合は、その方に自分も回答した場合、それが正解である確率は、

P(2) /( P(1) + P(2))

期待値は

(P(0) + P(3) ) * P(3) / (P(0) + P(3)) + (P(1) + P(2) ) * P(2) / (P(1) + P(2))

= P(3) + P(2)

= p^3 + 3 * p^2 * (1-p)

= 0.784

ですので、78.4%まで正答率をあげることができます。

id:toki-2131 No.4

toki-2131回答回数138ベストアンサー獲得回数12011/03/05 14:05:15

かんにんぐかー

id:BLOG15

不良回答者であることは回答を開く前からわかっていましたが、

オープンしないままより、「不適切な回答」にチェックを入れるほうが少しはマシかと思い開けました。

2011/03/05 19:03:51
id:loio No.5

loio回答回数342ベストアンサー獲得回数502011/03/05 20:08:57

ポイント20pt

マルバツ式なのに、70%しか回答率がないのが気になります。

50人くらいは、さいころで回答を決めてるんじゃないかと疑ってしまいます。

ま、それはおいといて、

問題って、簡単な問題から難しい問題まで満遍なくあると思います。

半分簡単な問題、半分難しい問題とすると、簡単な問題はみんな解けるとすると

難しい問題の正答率が4割しかありません。これはなにか?ひっかけにちがいないです。

ということで私の戦略は、

 ・3人が同じ答えであれば、それを選択する

 ・違う答えであれば、一人だけ選択したほうを選択する。

これでどうでしょうか

期待値は・・・わかりません。すいません

id:imo758 No.6

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192011/03/05 23:03:03ここでベストアンサー

ポイント40pt

正答の確率を P 、誤答の確率を Q 、P >= Q、P + Q = 1 とします。

n 人の正誤のパターンと確率は二項展開のように考えることができて…

( P + Q )^n

で考えることができます。

■カンニング対象が 0 人のとき:

\frac{1}{2}です。

■カンニング対象が 1 人のとき:

パターンと出現確率は

P + Q

ですから、正答率は P になります。


■カンニング対象が2人のとき:

パターンと出現確率は

 P^2 + 2PQ + Q^2

ですから、正答率は

\frac{P^2}{P^2 + Q^2}(P^2 + Q^2) + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2PQ}{\cdot}2PQ

= P^2 + PQ

= P(P + Q)

= P

と、1人だけカンニングした場合と同じになります。

■上の計算からもわかるとおり、正答率は

二項展開のうちPの次数がQの次数以上になる半分だけを足し合わせることと同じです。次数が同じ項は半分だけ足します。

■カンニング対象が3人のとき、正答率は

P^3 + 3P^2Q

= P^2(3 - 2P)

となります。 P = 70% の場合は 78.4%になります。

■同じく4人の場合の正答率は

P^2(3 - 2P)となります。3人の場合と同じです。

■実のところこのケースでは、偶数人をカンニングして稼げる正答率は、ひとり少なくカンニングして稼げる正答数と等しくなります。

というのも最後のひとりを参照するとき、正答数がひとり上回っているパターンと誤答数がひとり上回っているパターンからそれぞれ同確率だけ、正答と誤答が同数のパターンへと移行するからです。

■逆に偶数人からさらに1人カンニングを増やすとき、正誤拮抗しているパターンが、正答の方が1人多いパターンと誤答の方が1人多いパターンに分かれるので、正答率を上げることができます。

■無限にカンニング対象を増やせば、正答率はいくらでも100%に近づけることができます。

id:pretaroe No.7

pretaroe回答回数531ベストアンサー獲得回数752011/03/07 20:42:01

ポイント15pt

全体の正解率が70%だとしても

正解率が低い問題が4つ程度存在すると

75点を超えるのは難しいのでは?

期待値も75を超えれないのでは?

3人の多数決方式で決めると絶対に合格できない

id:BLOG15

もう少し詳しい説明をいただけると嬉しいです。

2011/03/07 21:14:07
  • id:BLOG15
    この問題は自分で設定を考えたので何か不備があるかもしれません。
    その場合は指摘をお願いします。
    また、多少設定を変えて問題を考えても構いません。

    この設定の場合、受験倍率は関係ないと思いますが、
    ほかに何か設定を加えたら受験倍率を参考にして、期待値をあげる方法などはあるでしょうか?
    例えば他の受験生の学力を把握していれば、上位の奴の解答を丸写しすれば、
    倍率何倍以下なら期待値は合格圏内である、等。

    実際のカンニングはもっと複雑でしょうし、問題の形式はこんなに単純ではないことのほうが多いし、
    バレるリスクを考えたら、カンニングは全然「割りに合わない」という結論になるとは思いますが、
    お遊びで出してみました。
  • id:BLOG15
    この条件下でこれ以上更に期待値を上げる方法もあればそれを回答しても構いません。
  • id:nobnob3
    最低合格点が分かれば、それ以上の点を取るための戦略が立てられるので、面白いです。
    例えば、3人の成績をカンニングしましたが、二人だけではどうなのか?などですね。
  • id:BLOG15
    tdoiさん、nobnob3さん、hayatoitoさん回答ありがとうございます。
    これからコメントさせていただこうと思います。

    まだ回答受付中なので、他の回答者も含めて設定を変更して回答してもらっても構いません。
  • id:nobnob3
    一人だけ正解というのは、多分ないと思います。
    一人だけ正解というのは、三人のうち、二人が同じ回答で、実はその二人が間違っていた場合なので、
    多数決戦略だとないのかと思いますが、どうでしょうか?
  • id:fut573
    ん? 受験生全体の正答率には期待値50%の「私」も含みますよね?
    「私」を除いた他の受験生の正答率は70.134%です。
  • id:BLOG15
    >nobnob3さん
    >一人だけ正解というのは、多分ないと思います。

    確かに、このケースだと一人だけ正解の場合は「私」は間違えた二人の解答を写しているので、その通りだと思います。


    >fut573さん
    >「私」を除いた他の受験生の正答率は70.134%です。

    正確にはそうですね。質問を出してから気付きました。
  • id:nobnob3
    御免なさい、正答の確率は間違っていました。tdoiさんの仰る通り、3人の回答バターンを全て書き出して、多数決戦略にのる場合は、78.4%ですね。私の回答は条件付き確率を計算しているつもりでしたが、飛んだ手落ちの恥ずかしい回答でした。
    回答はtdoiさんの方法で良いと思います。

    以下の通り条件付き確率から回りくどい計算をすると、
    P(A):3人の答えが一致する確率=0.37
    P(B):2人の答えが一致する確率=0.67
    P(C):多数決戦略をとって、カンニングマンが正答する確率
    P(C|A):3人の答えが一致したときカンニングマンが正答する確率=0.7*0.7*0.7/(3*0.7*0.7*0.3+0.7*0.7*0.7)=0.92702703
    P(A|C):カンニングマンが正答したときに、3人の答えが一致している確率=0.7*0.7*0.7/(3*0.7*0.7*0.3+0.7*0.7*0.7)=0.4375
    ベイズの法則より
    P(C|A)=(P(A|C)P(C))/P(A)
    よって
    P(C)=(P(C|A)*P(A))/P(A|C)
    =.92702703*0.37/0.4375=0.784
    回りくどい計算をしても78.4%になりました。

    ただ、条件付き確率で考えると、
    それぞれの正答率は、
    P(C|A)=0.92
    P(C|B)=3*0.7*0.7*0.3/(3*0.3*0.3*0.7+3*0.7*0.7*0.3)=0.7
    となり、3人の答えが一致しているときに答えを写すと92%の正答率ということになりますね。

    お詫びして訂正します。

  • id:BLOG15
    ふと思ったのですが、カンニングできる対象が一人しかいなくて、その回答を丸写しした場合、
    受験倍率によって合格確率が出てくるはずで、ということは、
    受験生全体の正答率がわからなくても、
    何かしらの統計的な手法を使えば、点数の期待値を近似的に出せることもできるのかなーとか思いました。

    例えば、受験倍率が1倍に近づくほど、
    丸写しした場合の合格確率は100%に近づき、点数の期待値も上がる、
    逆に受験倍率が高くなるほど、
    カンニング(丸写し)された人が合格している可能性も低いので、点数の期待値も低いだろうと思います。

    今回のケースですと、受験倍率1,5倍なので、カンニングされた人が合格する可能性は約67%ぐらいだろうと思います。
    で、合格最低点が分かっていれば、何かしら期待値が出せるかもとか、今考えてみました。




    >nobnob3さん
    >お詫びして訂正します。

    訂正ありがとうございます。
  • id:pretaroe
    4問でなくて40問でした。

    正解率30%の問題が40問含まれてる場合とか。
    問題の難易度は、正規分布してないと思うのですが・・。

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません