【カンニングの期待値】

１００問すべての正答率は同じであることを仮定します。

ある１問を考えたときに、状況としては、

３人とも正解：1 * 0.7 * 0.7 * 0.7 = 34.3%

２人だけ正解：3 * 0.7 * 0.7 * 0.3 = 44.1%

１人だけ正解：3 * 0.7 * 0.3 * 0.3 = 18.9%

０人だけ正解：1 * 0.3 * 0.3 * 0.3 = 2.7%

となり、３人の回答をカンニングして多数決で決定すれば、正答となる確率は、34.3 + 44.1 = 78.4%です。

すると、カンニングすることによって得られる点数の期待値としては、78.4点になります。

もう答えが出ていると思いますが（私が3人目の未読回答者）、一応計算したので書いてみます。

100問の問題の難易度が均一で、

自分の周り（前と左右）に座る受験生もランダムに座ると仮定すると、

問題数とかはこの際、関係ないと思います。

正答率が70%とすると、前、左、右の３人の内、無作為に選んだ一人のある一問の正答率も70%になります。

次に、３人の答えが同じ場合、この３人が正答する確率を計算します。

３人が間違える可能性は30%なので、1-0.3x0.3x0.3を計算すると97.3%になります。

同様に、二人の答えが同じで一人のみ答えが違う場合を計算すると、

1-0.3x0.3x0.7で93.7%になります。

よって、独りの回答を写す(70%)よりも、３人の回答を総合して回答する(90%以上)ほうが、

正答率（期待値）が上がります。

問題で少し気になるのは、受験倍率と合格最低点です。

仮に、受験生の得点が70%を平均として、正規分布していたとすると、

合格最低点が75点ということは、平均から5点プラスの点数が、上位100人ということになります。

これは、ちょうど70点の得点をとった生徒は全体の中央(150/2=75位)にいるはずなので、矛盾します。

例えば、受験者数が1000人で、合格者数が100人という倍率10倍として、これまでの条件はそのままに考えると、

合格最低点が75点ということは、平均から5点プラスの点数が、上位100人（全体の上位10%）ということになるので、

平均０、標準偏差1の正規分布で上位2.5%が1.96、上位10%が1.28ということを利用すると

70+1.28xSD=75 (SDはこの受験生全体の標準偏差)

よって、SD=3.9の母集団が受験をしていたことになります。

すべての問題は、単純なマルバツ問題で、

3人それぞれは、独立して、それぞれの問題に70% (p = 0.7) で正答の方を選ぶと仮定します。

この場合、ある問題に対して、

• 3人が正解する確率 P(3) = p^3
• 2人が正解する確率 P(2) = 3 * p^2 * (1-p)
• 1人が正解する確率 P(1) = 3 * p * (1-p)^2
• 0人が正解する確率 P(0) = (1-p)^3

です。

3人の回答が同じ場合は、その方に自分も回答した場合、それが正解である確率は、

P(3) /( P(0) + P(3))

2人の回答が同じ場合は、その方に自分も回答した場合、それが正解である確率は、

P(2) /( P(1) + P(2))

期待値は

(P(0) + P(3) ) * P(3) / (P(0) + P(3)) + (P(1) + P(2) ) * P(2) / (P(1) + P(2))

= P(3) + P(2)

= p^3 + 3 * p^2 * (1-p)

= 0.784

ですので、78.4%まで正答率をあげることができます。

かんにんぐかー

マルバツ式なのに、７０％しか回答率がないのが気になります。

５０人くらいは、さいころで回答を決めてるんじゃないかと疑ってしまいます。

ま、それはおいといて、

問題って、簡単な問題から難しい問題まで満遍なくあると思います。

半分簡単な問題、半分難しい問題とすると、簡単な問題はみんな解けるとすると

難しい問題の正答率が４割しかありません。これはなにか？ひっかけにちがいないです。

ということで私の戦略は、

　・３人が同じ答えであれば、それを選択する

　・違う答えであれば、一人だけ選択したほうを選択する。

これでどうでしょうか

期待値は・・・わかりません。すいません

全体の正解率が70％だとしても

正解率が低い問題が4つ程度存在すると

７５点を超えるのは難しいのでは？

期待値も75を超えれないのでは？

3人の多数決方式で決めると絶対に合格できない