インターネットチャンネルのフラッシュプレイヤーの場合、方法はありません。
最新版にするには、インターネットチャンネルのアップデートを待つしかないです。
また、インターネットチャンネルのフラッシュはFlash Liteという携帯機器向けのもので、パソコンで使用するフラッシュと違う物になっているようです。
http://www.nintendo.co.jp/wii/features/internet/spec.html
ですので、例えインターネットチャンネルがアップデートされても「最新のAdobe Flash Playerをインストールしてください」と表示される場合はあると思います。
ご回答ありがとうごさいます。調べてみたら、バージョン10以上がダウンロードできないことがわかりました。