1309611869 【定理or予想】

命題「4つの正整数n,m,N,Mが、0<n<N、0<m<Mを満たしているとき、2つの正整数x,yをうまく選べば、次の関係が成り立つようにできる:(2^N)y-(3^M)x=(2^n)(3^m)」を、あまりエレガントでない方法ですが、証明できたような気がするのですが、
1)もしこれが既知の定理なら、証明者や名称を教えてください。この命題とほとんど等価な定理であれば結構です。
2)もし反例があれば、教えてください。
3)エレガントな証明方法があれば、何か示唆してください。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2011/07/02 22:04:31
  • 終了:2011/07/03 12:29:48

ベストアンサー

id:Lhankor_Mhy No.2

Lhankor_Mhy回答回数779ベストアンサー獲得回数2312011/07/03 11:59:28

ポイント100pt

こちらは参考になるでしょうか。

定理 7 整数係数の方程式ax+by=1について次のことが成り立つ.

(1) 整数解が存在すればaとbは互いに素である.

(2) aとbが互いに素なら整数解が存在する.

一次不定方程式

a,bが互いに素のとき(gcd(a,b)=1)、方程式

ax+by+c=0

のある一つの解を[x0,y0]とする。一般解はt∈Z(整数)を使って

x=x0-bt,y=y0+at

と書ける。

wxMaximaの使い心地(その12) - 271828の滑り台Log

 

両方を組み合わせると、

a,bが互いに素である正整数のとき、

ax-by=1

を満たすx,yの正整数解の組が存在する、

が導き出せそうな気がします。数学は苦手なのであまり自信がありません。

id:kuro-yo

ありがとうございます。

なるほど、確かにその通りです。

私が書いた命題は、この特別な場合にすぎないですね。

ax-by=1

を満たすx,yの正整数解の組

a(x+bt)-b(y+at)=ax-byですので、存在します。

2011/07/03 12:29:18

その他の回答(1件)

id:katabekkam No.1

katabekkam回答回数9ベストアンサー獲得回数12011/07/02 23:56:35

あっているんじゃないかな・・・・・

id:kuro-yo

なぜ、そう思われましたか?

2011/07/03 10:05:30
id:Lhankor_Mhy No.2

Lhankor_Mhy回答回数779ベストアンサー獲得回数2312011/07/03 11:59:28ここでベストアンサー

ポイント100pt

こちらは参考になるでしょうか。

定理 7 整数係数の方程式ax+by=1について次のことが成り立つ.

(1) 整数解が存在すればaとbは互いに素である.

(2) aとbが互いに素なら整数解が存在する.

一次不定方程式

a,bが互いに素のとき(gcd(a,b)=1)、方程式

ax+by+c=0

のある一つの解を[x0,y0]とする。一般解はt∈Z(整数)を使って

x=x0-bt,y=y0+at

と書ける。

wxMaximaの使い心地(その12) - 271828の滑り台Log

 

両方を組み合わせると、

a,bが互いに素である正整数のとき、

ax-by=1

を満たすx,yの正整数解の組が存在する、

が導き出せそうな気がします。数学は苦手なのであまり自信がありません。

id:kuro-yo

ありがとうございます。

なるほど、確かにその通りです。

私が書いた命題は、この特別な場合にすぎないですね。

ax-by=1

を満たすx,yの正整数解の組

a(x+bt)-b(y+at)=ax-byですので、存在します。

2011/07/03 12:29:18
  • id:kuro-yo
    あー、成立条件を間違ったような気がする(証明はまだ記憶の中なので)。
    たぶん、1<n<(N-1)、1<m<(M-1)だな。
  • id:kuro-yo
    ↑成立条件は実は関係なかったという(^^;

    駄目な私です。元気ですか。

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