1314389122 【問題】2つの円 (x-2)^2+(y-1)^2=4 の交点P , Qを通る直線の方程式を求めよ。また、2点P, Qを通る半径 √8 の円の中心の座標を求めよ。

--------------------------------
という問題について、疑問があります。
円と直線の問題だと思うのですが、解答を読んでもいまいち理解できませんでして・・・
(1)なぜk=-1のとき、2点P , Q通る直線を表すのか
(2)「これは2点P , Qを通る円を表す。」理由は何なのか

お教えいただけないでしょうか。よろしくお願いします。

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  • 登録:2011/08/27 05:05:22
  • 終了:2011/09/03 04:08:37

回答(4件)

id:you1031931 No.1

you1031931回答回数323ベストアンサー獲得回数32011/08/27 10:52:49

ポイント5pt

Kに-1を代入したら2点P.Qを通る式と重なるからじゃないかとおもいます

(2)は分かりません

id:moon-fondu

ありがとうございます!

2011/08/28 03:12:10
id:a-kuma3 No.2

a-kuma3回答回数4487ベストアンサー獲得回数18562011/08/27 11:05:41

ポイント95pt

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/circle_brief4.htm

↑のページが、そのまま答えになってると思います。

図形の問題なのに、直観的に分かりにくいかな、という気はしますね。


--

(追記)

「円(2)はこの形式では表せない.」とは、どういう意味なのでしょうか?

「x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+dx+ey+f)=0

は,定数 k の値にかかわらず2交点を通る円を表わす.」

とありますが、二つの交点を通る 全ての 円を表しているわけではなくて、

円(2) に重なる円を表すことができない。

x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+dx+ey+f)=0 は k の値を変えるだけでは、

x2+y2+dx+ey+f=0 にはできないでしょ?

x2+y2+dx+ey+f=0 …(2)

は、どちらも係数しか違わない2次方程式なので、同じ形式だと思うのですが。。。

係数が違うから、「円(2)はこの形式では表せない.」と。

「この形式」といってるのは、x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+dx+ey+f)=0 の式ですよ。

id:moon-fondu

【要点】

○ 2つの円

x2+y2+ax+by+c=0 …(1)

x2+y2+dx+ey+f=0 …(2)

が2点で交わるとき,方程式

x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+dx+ey+f)=0

は,定数 k の値にかかわらず2交点を通る円を表わす.

○ ただし,k= - 1 のときは,2交点を通る直線を表わす.

○ k=0 のときは,円(1)を表わす.円(2)はこの形式では表せない.

○ 方程式

h(x^2+y^2+ax+by+c)+x^2+y^2+dx+ey+f=0 も同様

○ h=0 のときは,円(2)を表わす.円(1)はこの形式では表せない.

--------------------

という公式を利用するのですね!

ただ、「円(2)はこの形式では表せない.」「円(1)はこの形式では表せない.」とは、どういう意味なのでしょうか?

x2+y2+ax+by+c=0 …(1)

x2+y2+dx+ey+f=0 …(2)

は、どちらも係数しか違わない2次方程式なので、同じ形式だと思うのですが。。。

2011/08/28 03:20:10
id:higurasi1 No.3

Wylfred回答回数98ベストアンサー獲得回数112011/08/27 11:18:43

ポイント10pt

問題を間違ってはいませんか?

与式は中心 点(2、1) 半径2の円 ということしか表わさないと思うんですが

id:rsc96074 No.4

rsc回答回数4391ベストアンサー獲得回数4022011/08/27 15:09:59

ポイント95pt

 (1),(2)について、共通して言えることは、図の①式について、

{(x-2)^2+(y-1)^2-4}+k(x^2+y^2-1)=0…①

(x-2)^2+(y-1)^2-4=0…②

x^2+y^2-1=0…③

②、③の交点は、kの値に関係なく①式を満たす。

 このことを大前提にして、変形後の式の形から直線になったり円になったりします。

(1)k=-1のとき、2次の項が消えて、Ax+By+C=0の形になるから、この形は直線を表している。

 よって、上の大前提と合わせて、①式は交点を通る直線になる。

(2)これも結局k≠-1のとき、x^2+y^2+2Gx+2Fy+C=0と円を表す形の式に変形できるから、上の大前提と合わせて①式は交点を通る円になる。

id:moon-fondu

ありがとうございます!(1)と(2)、kの値の違いによって、それぞれ直線と円を表す式になることは理解できました(^_^;)

ただすみません、まだちゃんと理解できてない部分が残っておりまして・・・「②、③の交点は、kの値に関係なく①式を満たす。」という大前提は、どういうことなのでしょうか?

教科書に載っているような公式として自明の事実なのでしょうか?

教科書代わりに使っていたチャート式の本を紛失していまいまして。。。すみません、最初の大前提について、kの値に関係なく①式を満たすとはどういう意味なのか、もしよろしければ再度、ご回答いただければ幸いです(>_<)

よろしくお願いします<m(__)m>

2011/08/28 04:10:38
  • id:a-kuma3
    >問題を間違ってはいませんか?
    添付画像を見れば、
    (x-2)^2+(y-1)^2=4 と x^2+y^2=1 の二つの円の交点だ、というくらいは類推できる >id:higurasi1
  • id:higurasi1
    >a-kuma
    模範解答にkの条件が書いてなかったので類推は無理だと思いますが?
  • id:rsc96074
    「②、③の交点は、kの値に関係なく①式を満たす。」というのは、
    交点において、②、③式が成り立つので、これを①式に代入すると、
    0+k×0=0
    となって、kの値に関係なく成り立ちます。
  • id:a-kuma3
    >教科書に載っているような公式として自明の事実なのでしょうか?
    図形の公式、というよりは、普通に二次方程式と思って式を考えた方が分かりやすいかも。
  • id:moon-fondu
    a-kuma3さん、皆様すみません、問題を間違えていました!

    【問題】2つの円x^2+y^2=1と(x-2)^2+(y-1)^2=4 の交点P , Qを通る直線の方程式を求めよ。また、2点P, Qを通る半径 √8 の円の中心の座標を求めよ。

    申し訳ございません。しかし「なぜいきなり①のような式を作るのか?」等、付属の解答では判らない部分が多々ありまして・・・もしよろしければ再度、ご回答いただけないでしょうか。
    よろしくお願いします。
  • id:a-kuma3
    >a-kuma3さん、皆様すみません、問題を間違えていました!
    二名以外は、みんな分かってます。質問の添付画像の回答を見れば分かることなので。

    >なぜいきなり①のような式を作るのか?
    こうやって解くと簡単にできるのさ、というテクニックだと思えば良いです。
    まともにやると、二つの円について、交点を代数的に求めて、交点が二つ求まるので、
    その二点をとおる直線の式に、その二点を代入して、ってやれば、同じ答えが出るはずです。
    ただ、えらく大変なので、テストの一問として出てきたら、他の問題も含めて、
    時間がいくらあっても足りません。

    繰り返しですが、二つの円が二点で交わるときに、その二つの交点を通る直線を求めるには、こうやる、
    というふうに覚えて、次の問題に進みましょう :-)
  • id:higurasi1
    >>a-kuma3氏
    勝ち誇ってるところ悪いんですけど、
    kが複素数平面上にあったら成り立ちませんからね

    入試だとk∈Rとしないとはねられますから
  • id:a-kuma3
    >kが複素数平面上にあったら成り立ちませんからね
    ふ、ふくそすうへいめん ┐(´ー`)┌
  • id:moon-fondu
    a-kuma3さん、higurasi1さん、再コメントありがとうございます。
    x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+dx+ey+f)=0
    の、kに何を代入しても、x^2+y^2+dx+ey+f=0 …(2)にはならないこと、
    h(x^2+y^2+ax+by+c)+x^2+y^2+dx+ey+f=0においては、
    hに何を代入しても、x^2+y^2+ax+by+c …(1)にはできないこと、理解できました。
    複素数を用いた円の方程式については、
    http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/iroiro-kansu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/kansuu/iroiro-kansu/ennohouteisiki.html
    で言及されていますが。
    難しそうなので、今回は質問の問題を理解することに努めたいと思います。
    実はまだ疑問が残っておりまして。
    a-kuma3さんやrscさんのご回答から、x^2+y^2+ax+by+cやx^2+y^2+2Gx+2Fy+C=0等の形が、円の方程式を表すことは理解できました。
    k=-1の時に、2次の項が消えて、直線の方程式が現れることも理解できました。
    k≠1の時に、円の方程式が現れることも理解できました。
    しかし問題の解答における「これは2点P,Qを通る円を表す。」というのは、まだよく理解できませんでして。
    ①はa-kuma3さんが http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/circle_brief4.htm で紹介してくださった定理を利用して、「k=-1のとき、2点P , Q通る直線を表す」ことは、なんとなく理解できました。
    そしてそのP,Qを通る直線がy=-2x+1であるという所までは、理解できました。
    しかしこの段階では、直線の方程式が判明しただけであって、P,Qの座標軸上の位置は判明していないのに、なぜ、k≠-1の時に、
    (k+1)x^2+(k+1)y^2-4x-2y=k-1
    という円の方程式を、変形して、
    {x-(2/k+1)}^2+{y-(1/k+1)}^2=(k^2+4)/(k+1)^2
    になった時点で「これは2点P,Qを通る円を表す。」と、断定できるのでしょうか・・・。
    理解力が乏しくてすみません。
    再度ご回答およびコメントいただけると幸いです。
    「2つの円が、1点で重なるのではなく2点で交わる時の条件」みたいなのが、あるのでしょうか?
  • id:a-kuma3
    >「これは2点P,Qを通る円を表す。」と、断定できるのでしょうか・・・。
    三番目の id:rsc96074 さんのコメントが、そのまま答えになってます。
    式を変形しちゃうと、分からなくなっちゃいます。

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