Smarty　とは何ですか？

SmartyはPHPのテンプレートエンジンと呼ばれるもので、画面デザインとプログラム部分を分離する役割を持っています。

たとえば、PHPでWebアプリケーションを作る場合、Smartyは画面デザイン部分を担当します。

後日、画面デザインを変更したくなったら場合は、Smartyで記述した部分だけを変更すれば済みます。

画面デザインを担当するWebデザイナーと、プログラム部分を担当するプログラマーの仕事の境界線を明確にする意味でも、Smartyは重宝されています。

PHPはプログラミング言語の1種で、SmartyはそのPHPを利用して作られたフレームワークです。

フレームワークとは、いくつものクラスだったり関数だったりを事前に用意して、ある何かの目的（Smartyの場合、テンプレートを使ってHTMLとPHPロジックを分離する）を達成するための一連の考え方や組み方を提供するものだと思ってもらえればいいかと思います。

他の方の回答されている通りです。

役立つ場面についてですが

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■smartyなし

プログラマ___｜____デザイナ・コーダ

ＰＨＰ____________｜____HTML____

■smartyあり

プログラマ__｜____デザイナ・コーダ

ＰＨＰ______｜smarty!→｜___HTML__

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上記イメージで，プログラマがデザイナ業務から外れ，デザイナさんもPHPから解放されます。

http://www.smarty.net/docsv2/ja/

マニュアルのようです。