問題 http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20110909111011
解答 http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20110909111009
質問 http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20110909111010
よろしくお願いします。
解説の途中で定義された
の成分は、正四面体の三辺で構成された斜交座標上のベクトルです。
直交座標の各座標軸が直角で交わっているのに対し、
上記斜交座標の各座標軸は60度で交わっています。
今計算された
の値(1/6)は、この斜交座標上で定義された内積としては正しいですが、
そこからPQRの角度を求めても、上記斜交座標上の角度になってしまい、
直交座標からみると異なる(歪んだ)角度となります。
解説の途中で定義された
の成分は、正四面体の三辺で構成された斜交座標上のベクトルです。
直交座標の各座標軸が直角で交わっているのに対し、
上記斜交座標の各座標軸は60度で交わっています。
今計算された
の値(1/6)は、この斜交座標上で定義された内積としては正しいですが、
そこからPQRの角度を求めても、上記斜交座標上の角度になってしまい、
直交座標からみると異なる(歪んだ)角度となります。
ありがとうございます。
回答への質問ですが、どうして斜交座標だと駄目なのかがまだよくわかりません。
角が歪んでしまうというのもよくわかりません。お手数ですが、教えてください。
内積の定義は
・ = |p| |q| cosθ (θは,のなす角)
です。
ここで、=(p1,p2)、=(q1,q2)とおきます。
,で張られる座標を考えると、
=p1+p2
=q1+q2と書けます。
・
= (p1+p2)・(q1+q2)
=p1・q1・+p1・q2・+p2・q1・+p2・q2・
=p1・q1+(p1・q2+p2・q1)・+p2・q2 (∵,は単位ベクトルなので、・=・=1)
ここで、 ,で張られる座標が直交座標系なら、
定義より、・=|a| |b| cos90°=0となり、
・=p1・q1+q2・q2の公式が使えます。
しかし、斜交座標系なら・≠0(∵cosθ≠0)なので、その公式が使えません。
蛇足ですが、この問題は3次元なので、定義に従って、3次元の場合を考えると、
・
=p1・q1+p2・q2+p3・q3+(p1・q2+p2・q1)・+(p2・q3+p3・q2)・+(p3・q1+p1・q3)・
=(-1/2,1/6,0),=(-1/2,-1/2,1/4)を代入して
・=5/24(∵正四面体なので、cosθ=60°)
となり、正しい答えが導けます。
つまり、成分による計算は、2次元の場合だと・=0となる系のみで有効です。よって、直交座標系では有効です。ただ、他に・=0となる系があるかはわかりませんので、直交座標系でのみ有効と言いきることはできません。
ありがとうございます。
回答を読みますと、つまり、成分による計算は直交座標でのみ有効なのだ、
ということですか?度々ですみませんが、念のために確認させてください。
ありがとうございます。
回答への質問ですが、どうして斜交座標だと駄目なのかがまだよくわかりません。
角が歪んでしまうというのもよくわかりません。お手数ですが、教えてください。