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  • 登録:2011/09/09 11:15:27
  • 終了:2011/09/15 16:56:37

ベストアンサー

id:jan8 No.1

jan8回答回数455ベストアンサー獲得回数962011/09/09 16:31:42

ポイント80pt

解説の途中で定義された

¥vec{PQ}

¥vec{PR}

の成分は、正四面体の三辺で構成された斜交座標上のベクトルです。

直交座標の各座標軸が直角で交わっているのに対し、

上記斜交座標の各座標軸は60度で交わっています。

今計算された

¥vec{PQ} ¥cdot ¥vec{PR}

の値(1/6)は、この斜交座標上で定義された内積としては正しいですが、

そこからPQRの角度を求めても、上記斜交座標上の角度になってしまい、

直交座標からみると異なる(歪んだ)角度となります。

id:massa-will

ありがとうございます。

回答への質問ですが、どうして斜交座標だと駄目なのかがまだよくわかりません。

角が歪んでしまうというのもよくわかりません。お手数ですが、教えてください。

2011/09/09 19:45:47

その他の回答(1件)

id:jan8 No.1

jan8回答回数455ベストアンサー獲得回数962011/09/09 16:31:42ここでベストアンサー

ポイント80pt

解説の途中で定義された

¥vec{PQ}

¥vec{PR}

の成分は、正四面体の三辺で構成された斜交座標上のベクトルです。

直交座標の各座標軸が直角で交わっているのに対し、

上記斜交座標の各座標軸は60度で交わっています。

今計算された

¥vec{PQ} ¥cdot ¥vec{PR}

の値(1/6)は、この斜交座標上で定義された内積としては正しいですが、

そこからPQRの角度を求めても、上記斜交座標上の角度になってしまい、

直交座標からみると異なる(歪んだ)角度となります。

id:massa-will

ありがとうございます。

回答への質問ですが、どうして斜交座標だと駄目なのかがまだよくわかりません。

角が歪んでしまうというのもよくわかりません。お手数ですが、教えてください。

2011/09/09 19:45:47
id:maeko_map No.2

maeko_map回答回数5ベストアンサー獲得回数02011/09/11 02:11:10

ポイント20pt

内積の定義は

¥vec{p}¥vec{q} = |p| |q| cosθ (θは¥vec{p},¥vec{q}のなす角)

です。


ここで、¥vec{p}=(p1,p2)、¥vec{b}=(q1,q2)とおきます。

¥vec{a},¥vec{b}で張られる座標を考えると、

¥vec{p}=p1¥vec{a}+p2¥vec{b}

¥vec{q}=q1¥vec{a}+q2¥vec{b}と書けます。


¥vec{p}¥vec{q}

= (p1¥vec{a}+p2¥vec{b})・(q1¥vec{a}+q2¥vec{b})

=p1・q1¥vec{a}¥vec{a}+p1・q2¥vec{a}¥vec{b}+p2・q1¥vec{b}¥vec{a}+p2・q2¥vec{b}¥vec{b}

=p1・q1+(p1・q2+p2・q1)¥vec{a}¥vec{b}+p2・q2 (∵¥vec{a},¥vec{b}は単位ベクトルなので、¥vec{a}¥vec{a}=¥vec{b}¥vec{b}=1)


ここで、 ¥vec{a},¥vec{b}で張られる座標が直交座標系なら、

定義より、¥vec{a}¥vec{b}=|a| |b| cos90°=0となり、

¥vec{p}¥vec{q}=p1・q1+q2・q2の公式が使えます。


しかし、斜交座標系なら¥vec{a}¥vec{b}≠0(∵cosθ≠0)なので、その公式が使えません。


蛇足ですが、この問題は3次元なので、定義に従って、3次元の場合を考えると、

¥vec{p}¥vec{q}

=p1・q1+p2・q2+p3・q3+(p1・q2+p2・q1)¥vec{a}¥vec{b}+(p2・q3+p3・q2)¥vec{b}¥vec{c}+(p3・q1+p1・q3)¥vec{c}¥vec{a}


¥vec{PQ}=(-1/2,1/6,0),¥vec{PR}=(-1/2,-1/2,1/4)を代入して

¥vec{PQ}¥vec{PR}=5/24(∵正四面体なので、cosθ=60°)

となり、正しい答えが導けます。


つまり、成分による計算は、2次元の場合だと¥vec{a}¥vec{b}=0となる系のみで有効です。よって、直交座標系では有効です。ただ、他に¥vec{a}¥vec{b}=0となる系があるかはわかりませんので、直交座標系でのみ有効と言いきることはできません。

id:massa-will

ありがとうございます。

回答を読みますと、つまり、成分による計算は直交座標でのみ有効なのだ、

ということですか?度々ですみませんが、念のために確認させてください。

2011/09/11 15:14:28
  • id:jan8
    訂正:
    「斜交座標上のベクトル」を「斜交座標上の成分」に訂正します。
  • id:jan8
    訂正:
    「PQRの角度」を「QPRの角度」に訂正します。
  • id:jan8
    すいません更新チェックしてませんでした。

    maeko_mapさんによる回答No.2は素晴らしいですね。これにより、異なる座標系上のベクトルが基準となる座標系に対して歪んでいると、内積の値が異なる(ベクトルa・b項が加算される)事が示されました。

    コメントでは「はてな記法」が使えないので(意訳:私は「数式」が苦手なので)、言葉で説明します。

    「成分による計算は直交座標でのみ有効なのだということですか?」
    という質問がありますが、基準となる座標系は、直交座標でなくても構いません。
    基準となる座標系において定義された「正四面体OABCによって定義された異なる座標系」が、基準に対して歪んでいるという事です。
    基準となる座標系で測った90度は、(基準となる座標系における)「正四面体OABCによって定義された異なる座標系」で測ると90度にならないという事です。

    問題において求められるベクトルの大きさや角度は、問題において最初に定義した座標系における値にしなければならず、問題の途中で定義した「正四面体OABCによって定義された異なる座標系」における値にしてはならないのです。

    上手く説明できませんがお解り頂けるでしょうか?

    回答No.1では、(私が勝手に)基準となる座標系を直交座標系だと説明してしまいました。
    誤解を与えてしまい申し訳ありませんでした。
  • id:jan8
    訂正:
    ベクトルa・b項が加算される

    ベクトルa・b項、ベクトルb・c項、ベクトルc・a項が加算される
    に訂正します。
  • id:massa-will
    jan8さん
    コメントをありがとうございます。
    ただ、いまひとつわかりません。
    jan8さんの言われる「基準」とは、この場合何ですか?直交座標ですか?
    もしそうだとして、問題文のどこにそれが「定義」されているのですか?
    度々ですみませんが、教えてください。
  • id:jan8
    上手く説明出来なくて申し訳ないです。

    私の言う「基準」とは「第三者と共通の解釈が出来る前提」であり、
    ここでは「3次元の線形空間」です。

    問題で求められているのはベクトルの内積と大きさ、角度(の余弦)です。
    ベクトルaの大きさが1と定義されている事が、他のベクトルの大きさを求める「基準」になります。
    位置は求められていないので、問題文において座標を定義しなくても良いですよね。
    また、ユークリッド幾何学が成立する事などは、公理として暗黙に定義されているはずです。



    質問の回答に戻り、私の言いたい事を別の視点で説明し直します:

    解説の回答者は「回答者独自の」斜交座標を定義・導入して、
    各ベクトルの大きさを当該斜交座標における成分で表示しました。

    その成分だけで計算された「何か」の意味を知るには、
    その成分値の基準となる座標系を知る必要がありますよね。

    採点者も回答者が当該斜交座標を導入した事を知っていれば、
    「何か」が何を意味するか理解する事が出来ます(○は付けませんが)
    回答者独自の斜交座標系を知らなければ「この値どこから出てきたんだ?」という事になります。

    つまり、問題の途中で独自に定義した値を使って何かを計算しても、
    第三者と共通の前提がないので、第三者の理解が得られないという事です。



    最初の基準は「直交座標」でなければならないのかというと、そうではありません。
    例えば、45度歪んだ斜交座標を「45度斜交座標」と呼びます。
    「45度斜交座標」において正四面体を定義すると、外界からは正四面体自体が45度歪んで見えます。
    「45度斜交座標」の世界においては、その正四面体の2辺のなす角度は60度です。
    (外界からは歪んでしまって60度には見えませんが、「45度斜交座標」に生きる人にとっては、45度斜めっている事など意識すらしていないという事です。)
    「45度斜交座標」の上で更に「60度射交座標」を別に定義して、解説通りに問題の答えを計算する事が出来ます。



    「直交座標」において定義された正四面体の上に「45度斜交座標」のグリッドを被せるようなイメージをする事は、先程説明した「独自の定義を行う」事と同じになり、解説通りの回答を導けなくなります。

    お分かり頂けますでしょうか?

    お願いですので「非線形空間だったらどうなるの?」とは聞かないでください。
    数学が苦手なので上手く説明出来ないと思います。
  • id:massa-will
    jan8さん
    だんだんとわかってきました。あとは自分の中で理解を深めたいと思います。
    何度もお手間をかけてしまい、恐縮しております。ありがとうございました。

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