「みんなで作ろう」といった誰もが思いつく言葉に著作権を主張することはできるのでしょうか？

著作権法の対象となる著作物とは「思想または感情を創作的に表現したもの」

（著作権法第２条１項）です。「みんなで作ろう」はこれに該当しません。

「みんなで作ろう」といった独創性の無い言葉は、著作権法に定める著作物には当たらないと思われます。

参考サイト

Ｑ.新聞等の見出しは著作物となりますか。（著作権なるほど質問箱 著作権Ｑ＆Ａ・文化庁）

Ａ.一般に著作物とは考えられません。

　新聞の見出しは比較的単純で簡単な文章が多く、人間の考えや気持ちを創作的に表現したもの(第2条第1項第1号)といえない場合が多いと思われます。

著作権法

（定義）

第２条　この法律において、次の各号に掲げる用語の定義は、当該各号に定めるところによる。

1．著作物　思想又は感情を創作的に表現したものであつて、文芸、学術、美術又は音楽の範囲に属するものをいう。

著作権は主張できないはずですが、

皆さんが考えているのは「商標」では無いでしょうか？

えっ、これが商標？