数学Ⅱ 図形と方程式(軌跡) 答えを紛失して困ってます!解説お願いします


2定点B, Cの座標をそれぞれ (-1, 0), (1, 0) とする。点Aが直線 y=a(a>0) 上を動くとき、以下の問いに答えよ。
(1) △ABCの垂心Hの描く図形の方程式を求めよ。
(2) 原点OとHの距離の最小値を求めよ。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2012/01/18 18:00:40
  • 終了:2012/01/22 15:53:22

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032012/01/18 19:46:35

 こちらは参考になるでしょうか。
(1) 点A(t,a)と置くと、頂点Cに対する垂線の足をHcとすると、
AB⊥CHcより直線CHcの傾きmは、
m・{(0-a)/(-1-t)}=-1
∴m=-(t+1)/a
よって、直線CHcの方程式は、
y=-{(t+1)/a}(x-1)…①
これと直線x=t…②の交点が垂心であるから、①,②から、tを消去して、
y=-{(x+1)/a}(x-1)=(1-x)(x+1)/a
よって、求める軌跡は
y=(1-x)(x+1)/a
∴y=(1-x^2)/a
※参考URL
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1338472873
●垂心の軌跡
http://www.300000.net/contents/h-locus.html
●垂心の軌跡(アニメーション)
http://www.geocities.jp/osaqmath/contents/h-locus_ani.html

(2)2点間の距離の公式より
OH^2=x^2+y^2=x^2+{(1-x^2)/a}^2
x^2=tとおくと、OH^2=f(t)は2次式となるので、平方完成。ただし、t=x^2>0
あとは、頂点と端の比較。←軸の位置による分類が必要
(計算略)
0<a<√2のとき、
 x=±√[1-a^2/2]のとき、min(OH)=√[1-a^2/4]
a≧√2のとき、
 x=0のとき、min(OH)=1/a
※参考URL
http://www.wolframalpha.com/input/?i=min%5Bsqrt%5Bx%5E2%2B%28%281-x%5E2%29%2Fa%29%5E2%5D%5D
●xの範囲に指定がある場合の2次関数の最大最小
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/2jikansuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/kansuu/2jikansuu/saidaisaisyou-2.html

id:localdress

非常に丁寧な解説有難うございます。
私は正答にたどり着けていなかったので
凄く助かりました。
次もご縁がありましたらまたよろしくお願いします。

2012/01/22 15:52:24

その他の回答(2件)

id:YAMADAMAY No.1

やまだまや(真優)回答回数171ベストアンサー獲得回数122012/01/18 19:10:21

id:YAMADAMAY

申し訳ありません、質問の意味を取り違っていたようです。

2012/01/19 12:59:10
id:localdress

答えて下さろうとしたお気持ちだけでも嬉しいです。
有難うございます。

2012/01/22 15:35:38
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032012/01/18 19:46:35ここでベストアンサー

 こちらは参考になるでしょうか。
(1) 点A(t,a)と置くと、頂点Cに対する垂線の足をHcとすると、
AB⊥CHcより直線CHcの傾きmは、
m・{(0-a)/(-1-t)}=-1
∴m=-(t+1)/a
よって、直線CHcの方程式は、
y=-{(t+1)/a}(x-1)…①
これと直線x=t…②の交点が垂心であるから、①,②から、tを消去して、
y=-{(x+1)/a}(x-1)=(1-x)(x+1)/a
よって、求める軌跡は
y=(1-x)(x+1)/a
∴y=(1-x^2)/a
※参考URL
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1338472873
●垂心の軌跡
http://www.300000.net/contents/h-locus.html
●垂心の軌跡(アニメーション)
http://www.geocities.jp/osaqmath/contents/h-locus_ani.html

(2)2点間の距離の公式より
OH^2=x^2+y^2=x^2+{(1-x^2)/a}^2
x^2=tとおくと、OH^2=f(t)は2次式となるので、平方完成。ただし、t=x^2>0
あとは、頂点と端の比較。←軸の位置による分類が必要
(計算略)
0<a<√2のとき、
 x=±√[1-a^2/2]のとき、min(OH)=√[1-a^2/4]
a≧√2のとき、
 x=0のとき、min(OH)=1/a
※参考URL
http://www.wolframalpha.com/input/?i=min%5Bsqrt%5Bx%5E2%2B%28%281-x%5E2%29%2Fa%29%5E2%5D%5D
●xの範囲に指定がある場合の2次関数の最大最小
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/2jikansuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/kansuu/2jikansuu/saidaisaisyou-2.html

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非常に丁寧な解説有難うございます。
私は正答にたどり着けていなかったので
凄く助かりました。
次もご縁がありましたらまたよろしくお願いします。

2012/01/22 15:52:24
id:Silvanus No.3

Silvanus回答回数174ベストアンサー獲得回数672012/01/19 09:42:01

純粋に学問的な質問をする際には「自分はこう思うが間違いない?」とか
「ここの部分が判らないので教えて欲しい」という様な仕方でないとダメでしょう。
---
自分自身が高校生だったのは遥か昔なので
以下に示す解き方が現在の教育課程に沿うものであるかは判りません。
正直、端折ってある部分もあるので、読んでみて解らなければ
コメント入れて下さい。可能な限りお答えします。



他1件のコメントを見る
id:localdress

ベストアンサーの件ですが、優劣付け難く、より早く回答を投稿をしてくださった方を選びました。ご了承ください。

2012/01/22 15:53:17
id:Silvanus

BAのチョイスに異論はありません。理解できない部分が無かったとのことで安心しました。回答した甲斐がありました。

2012/01/23 16:43:52

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