自転車保険についての質問です。

自動車保険に、原動機付自転車（正確には１２５CCまで）を特約でつけることは可能ですけどね・・・。
よくファミリーバイク特約というのがそれです。

相手に対して自転車でぶつかったときに賠償するのであれば、自動車保険の中の特約「個人賠償責任保険」がそれに当たります。

家庭内で一つ契約があれば、全員が保障を受けられます。

自転車の保険は、車の保険、火災保険、クレジットカードなどの特約でカバーされている場合もあり、ご自身が加入されてなくても家族全員をカバーされているものも中にはありますので、まずは契約内容をご確認されてみてはいかがでしょうか？
自転車の保険に入ろう！

また、上記サイトにも説明のある自転車屋で自転車安全整備士による点検、整備を受ければ、TSマークを自転車につけてもらって、保険に入ることもできます（有効期限は１年なので、１年後に再点検を受ける必要あります）。ＴＳマークは自転車自体が保険の対象となるため、所有者に限らず、その自転車を使用した家族や友人も事故の際に保険の適用を受けることができるメリットがあります。
公益財団法人 日本交通管理技術協会
※保証内容はＴＳマーク付帯保険を参照。

その他では、Japan Cycling Associationというのもあります。

ご参考になれば幸いです。

　某大手Ｔ社の一般的な任意の自動車保険で確認しました。
この保険の場合「個人賠償責任保証特約」というのがあって、私の場合は申し込んだら年間数千円は余分にかかるそうです。
　
①、日常生活に起因する偶然な事故。
②、記名被保険者が居住に使用する住宅の所有、使用または管理に起因する偶然な事故。
　
　この二つのケースで「他人に与えた損害」を賠償する場合の保険です。
保険金額を限度に支払われます。
自分の分は、例えば乗っていた自転車が壊れたり、自分自身がケガをしたりしたとかは保証されません。