数学の問題で質問があります。


半径rの円がx軸とy軸に接し、かつ円(x-16)2乗+(y-9)2乗=81に外接している。

このとき、rの取りうる値をすべて求めよ。

途中式、答えまで詳しく書いていただけるとありがたいです。

ちなみに答えはr=4,16,64です。

よろしくお願いします。

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  • 登録:2012/03/14 14:45:29
  • 終了:2012/03/21 14:50:08

回答(1件)

id:a-kuma3 No.1

a-kuma3回答回数4439ベストアンサー獲得回数18232012/03/14 22:16:24

以下、位置が可変の円を円O、その中心を点O、位置が固定の円を円P、その中心を点P とします。
^ は、二乗の記号です。

まず、円P (x - 16)^2 + (y - 9)^2 = 81 がどこにあるかを考えます。
第一象限に全体が入っていて、x軸にだけ接していて、y軸からは離れています。

次に、円O の位置を考えます。
x軸とy軸に接するということは、中心が y = x もしくは、y = -x の直線上にあるということです。
点O が第二象限、第三象限にある場合には、円O と円P が接することが無いので、除外します。

まず、円O が第一象限にある場合。
円O の式は、こうなります。

(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2


更に、二つの円が互いに外接する場合と、円O が円P を内包する (円P が円O に内接する) 場合の二つで考えます。
まず、二つの円が互いに外接する場合。
f:id:a-kuma3:20120314214510j:image

二つの円の中心の距離を考えます。

(r - 16)^2 + (r - 9)^2 = (r + 9)^2

左辺が中心の座標から求めた距離で、右辺は互いの半径を足したものです。
これを解いていけば、

r^2 - 32r + 16^2 + r^2 - 18r + 9^2 = r^2 + 18r + 9^2
r^2 - 68r + 16^2 = 0
(r - 4) (r - 64) = 0

で、r = 4, 64 が求まります。

次に、円O が円P を内包する場合です。
f:id:a-kuma3:20120314214731j:image

先程と同じように、二つの円の中心の距離を考えます。

(r - 16)^2 + (r - 9)^2 = (r - 9)^2

今度は右辺が、半径の差になりますね。
(r - 9)^2 が共通なので、こっちは簡単に解けます =)

(r - 16)^2 = 0

で、r = 16 が求まります。

次は、第四象限に円O がある場合です。
円O の式はこうなります。

(x - r)^2 + (y + r)^2 = r^2

これは、互いに外接する場合だけを考えれば OK です。
もう、分かりますよね。

(r - 16)^2 + (-r - 9)^2 = (r + 9)^2
(r - 16)^2 + (r + 9)^2 = (r + 9)^2
(r - 16)^2 = 0
r = 16

です。

で、円O が 円P に外接するパターンは四つあって、半径の組合せは(重複があるので)r = 4, 16, 64 になります。

  • id:rsc96074
    グラフを描いてみましたが、r=16のときは、内接してませんか。(^_^;
  • id:a-kuma3
    >グラフを描いてみましたが、r=16のときは、内接してませんか。(^_^;
    ぼくも、一瞬、そう思いましたが、位置が不定の円が、位置が固定の円を内側に含むので、外接で良いと思います。
    三角形の外接円を想像すれば良い。

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