数学の問題で質問があります。


0<a<bのとき、、√b-a(√はb-aに掛かってます)と √b-√aではどちらが大きいか。

途中式なども書いてくださると嬉しいです。 よろしくおねがいします。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2012/04/15 16:12:18
  • 終了:2012/04/22 16:15:07

回答(2件)

id:Lhankor_Mhy No.1

Lhankor_Mhy回答回数779ベストアンサー獲得回数2302012/04/15 19:34:17

sqrt{b-a} ¥leq sqrt{b}-sqrt{a}
とであると仮定すると、題意より両辺とも正の数である。
 
両辺を二乗して
b-a ¥leq b-2sqrt{ab}+a
sqrt{ab} ¥leq a
 
さらに両辺を二乗して
ab ¥leq a^2
b ¥leq a
 
これは題意と矛盾するので
sqrt{b-a} > sqrt{b}-sqrt{a}

id:hissssa No.2

hissssa回答回数418ベストアンサー獲得回数1232012/04/15 19:45:59

まず、X>Y>0のとき、X^2>Y^2です。よって、¥sqrt{b-a}¥sqrt{b}-¥sqrt{a}の大小比較は、¥sqrt{b-a}^2(¥sqrt{b}-¥sqrt{a})^2の大小比較に置き換えられます。
大小比較とは両者の差分が0より大きいか否かでもありますので、以下の式が0より大きいか否かが解となります。
¥sqrt{b-a}^2 -(¥sqrt{b}-¥sqrt{a})^2
さて、¥sqrt{b-a}^2=b-aであり、(¥sqrt{b}-¥sqrt{a})^2=b-2¥sqrt{ab}+aです。よって、上記式は以下のように変形できます。
=b-a -(b-2¥sqrt{ab}+a)
=-2a +2¥sqrt{ab}
=2(¥sqrt{ab}-a)
ここで前提を適用します。0<a<bの時、¥sqrt{ab}>aですので、2(¥sqrt{ab}-a)>0です。
よって、以下の式が成立します。
¥sqrt{b-a}^2 -(¥sqrt{b}-¥sqrt{a})^2>0
→ ¥sqrt{b-a}^2 >(¥sqrt{b}-¥sqrt{a})^2

これにより、¥sqrt{b-a}>¥sqrt{b}-¥sqrt{a}であると結論付けられます。

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