高校数学についての質問です。


 数学で最近因数分解をやっております。因数分解の中でも、たすきがけというやり方が苦手です。先生が言うには、できるかできないかは、運しだいというのですが、本当にそうなのでしょうか?

 また、たすきがけ以外の方法で、9x^2-12xy+4y^2 (^2は2乗をあらわします。)このような問題を因数分解する方法はないのですか?数学はある程度得意なので、難しい方法でもいいので、知っていましたら教えてくださるとうれしいです。

回答の条件
  • 1人50回まで
  • 登録:2012/04/27 14:19:12
  • 終了:2012/05/04 14:20:11

回答(5件)

id:tazikisai-mukou No.1

多食斎友好=世田介回答回数276ベストアンサー獲得回数332012/04/27 15:35:36

2次式や3次式ならば「根の公式」から導けば、「試行錯誤」や「運しだいという」事は有りません。

他4件のコメントを見る
id:tazikisai-mukou

もう一つ注意すべきは、「因数分解」どのレベルまでやるかと言う事です。
整数、有理数、無理数、虚数まで・・・ 例えば x^2+1等の因数をそこでやめるか、虚数まで因数分解するか。
それによって因数分解が進められるかどうかは「運」でなく、その人の知識(数学力)での判断となります、例えばax+by+czは1つの因数と考えそこでとめるのが妥当。
高次式だけでなく多元式にも気をつけるべき、普通、「この式を因数分解しなさい」と出題された場合は、必ず2つ以上の因数になると信じて解く事です。
出来なければ「問題が間違っている」と判断すればいい、「運」では済まされない。どんな多元高次式も機械的に確実に因数分解できる方法は、まだ発見されてないと思う、a-kuma3さんが教示くださった、因数定理:f(x)=0にする値を探して因数を一つずつ消し、式を変形・まとめをして次の因数を探す、を繰り返すのは「基本」です。

コンピュータや関数電卓で解を求めるのもいいですが、求めた解の性質を知る事は大事です(近似値、複数解が存在など)それに停止条件を厳密に規定しておかないと「いつまでも計算し続ける=値の振動(真値のすり抜け)、極限値、数の体系が不整合(二進小数で有理数を正確に表すと無限桁になる場合がある)」
コンピュータや関数電卓は正しい理論、正しい入力、正しい使い方、出た答えに対して、正しい理解(使い方)をしなければなりません。その理論は数学理論を活用するのです。

2012/04/29 10:14:15
id:tazikisai-mukou

もう1つ学習を進める方法として「因数分解公式」の逆、「展開公式」を沢山作って、憶えておく事。これを作るのはさほど苦労はいりません。「因数分解」された式を展開するだけですから、幾らでも複雑な「因数分解」の式を使えます、その内規則性が見つけられたら、憶えればいいわけです。
(ax^3+by^2-cz)(ay^2-bz+cx^3)(-az^2+bx^3+cy)=....なんてものです。

2012/04/29 20:25:36
id:tazikisai-mukou No.2

多食斎友好=世田介回答回数276ベストアンサー獲得回数332012/04/27 15:36:39

2重回答になってしまいました。無効にしてください。

id:marcy-marcy-marcy

 根の方式ですか?なるほど、他にやり方があれば教えてください。

2012/04/27 16:01:19
id:a-kuma3 No.3

a-kuma3回答回数4412ベストアンサー獲得回数18032012/04/27 17:37:54

9x^2-12xy+4y^2x についての二次式だと考えて、この式が0のときの解を求めます。

(9)x^2-2(6y)x+(4y^2)=0

ax^2-2bx+c=0 のときの回の公式 x=¥frac{-b¥pm¥sqrt{b^2-ac}}{a} を使います。

x=¥frac{-(-6y)¥pm¥sqrt{(-6y)^2-(9)(4y^2)}}{9}

x=¥frac{6y¥pm¥sqrt{36y^2-36y^2}}{9}     ────── ルートの中はゼロになる

x=¥frac{2y}{3}

これを使って元の式を変形すると、

9x^2-12xy+4y^2

=9(x-¥frac{2y}{3})^2      ─────── 9 を括弧の内側に入れると、

=(3x-2y)^2



# tex 記法を使って、回答してみたかっただけです (^^;

他2件のコメントを見る
id:tazikisai-mukou

a-kuma3さん、きれいなていねいな回答をして頂き、有難うございます。
どうも私は、「直感」か、「地道に確実」に解くやり方をすぐやるようで。
確かに高次元では一般的な、「地道に確実」は解法が無い場合が多いです。
やはり、幾つかの公式を駆使して、一次、二次ずつ落としていって、式を整理しながら解くのが良いかと思います。
一応、質問者さんから、「運以外ではどんなやり方があるかも、しりたいです。お勧めのとき方とかありませんか?」と言うコメントも付いてますので、
私の回答のコメント欄にて質問者さんのコメントに応えたいと思います。

2012/04/28 21:35:40
id:a-kuma3

あ、いや、丁寧にコメントされちゃうと困るな...
本当に、「tex 記法を使って、回答してみたかった」だけなんです。
別の質問の回答で使ってるのを見て、使える回答を探してました (^^;

2012/04/28 21:51:08
id:a-kuma3 No.4

a-kuma3回答回数4412ベストアンサー獲得回数18032012/04/28 11:24:18

No.3 で書いたやり方は、解の公式が無い高次の式だと使えません。
一般には因数を探して、次数をひとつ下げてゆくしかないと思います。

x の関数 f(x) があるとき、f(a)=0 になる a があれば、
f(x) = (x-a)f’(x) と書くことができます。

x に、1とか、-1とか小さい数字を適当に当てはめて f(x) をゼロにする x を探し、
f(x)(x-a) で割ります(多項式の割り算はできますよね?)。
余りの多項式の次数は f(x) よりもひとつ下がるので、これを繰り返していけば、解の公式が使えるところまでたどり着きます。

たすきがけでも一緒です。
四つの数字を同時に思い付けなくても、ひとつだけ f(x)=0 にする x を探せば良いんです。
ただ、質問にある式のように、分数になるような場合には、極端に難易度が上がります。

他1件のコメントを見る
id:a-kuma3

それで、知識が無いのに、アチコチに食いつき、いい加減な質問・回答やコメントを(略

ぼくのことを書いてんのかと思った :-)
火傷をしたことは、数知れず。

2012/04/29 11:18:25
id:tazikisai-mukou

上記(私の)コメントは、私自身の事です。

2012/04/29 20:27:45
id:Lhankor_Mhy No.5

Lhankor_Mhy回答回数779ベストアンサー獲得回数2302012/04/28 13:45:35

Kronekkerの算法
http://kako.ics.nara-wu.ac.jp/~kako/teaching/ca-bad/node86.html
計算量が多いので人間が解くには実用的ではないと思いますが、ニュートン補間を使って因数分解する方法のようです。
 
手と紙で計算する分にはこっちの方が簡単でしたが、高校で一般に用いるような多項式ならgcdを求めている段階で式をひらめきそう。
Yunの無平方分解アルゴリズム
http://kako.ics.nara-wu.ac.jp/~kako/teaching/ca-bad/node81.html

  • id:tazikisai-mukou
    数学は「因数分解」だけでは(始まりでも終わりでも)ありませんので、その前の「基礎」の考え方(例えば、文字式・数式の分類、幾何学)やその他数学の全体像をシッカリ掴む事を望みます。
  • id:marcy-marcy-marcy
     みなさん、たくさんの正確ですばらしい回答をありがとうございます。これでは、ベストアンサーを選べません。なので、素晴らしい回答を下さった方には後にお礼させていただきます

この質問への反応(ブックマークコメント)

トラックバック

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません