次の広義積分が収束するようなパラメータの範囲を定めよ。

I=∬D dxdy/|x|^(a)+|y|^(b)
D:x^2+y^2≦1

回答
a>0,b>0のとき
I1=∫(0→1)dy ∫(0→1)dx/x^(a)+y^(b) を考えればよい。

x/y^(b/a)=tとおく。 dx/x^(a)+y^(b)=1/y^(λ)×dt/t^(a)+1 となるようにすると

λ+b/a-b=0 すなわち λ=b/a(a-1)

I=∫(0→1)dy/y^λ×∫(0→y^(-b/a))×dt/t^a+1

ここでy~0のとき
∫(0→y(-b/a)) dt/t^a+1 ~Cy^(-b(1-a)/a), a<1のとき
~C|logy| a=1のとき
~C a>1のとき

となる。 a<1なら I1~C∫(0→1)dy で明らかに収束
a=1のときλ=0で I1~C∫(0→1)|logy|dyとなりこれも収束
またa>1の場合は I1~C∫(0→1)dy/y^λ

以上よりこれが収束するための必要かつ十分な条件はλ<1 すなわち
b/a(a-1)<1 ab<a+b


a=0 またはb=0のとき I1=∬D dxdy/1+|y|^b などとなり明らかに収束

以上より a≦0 またはb≦0 または ab<a+b
説明お願いします><

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  • 登録:2012/07/04 08:04:06
  • 終了:2012/07/11 08:05:03

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