中2の数学の問題です。「底面積が同じで高さの異なる3種類の円柱があります。(A:高さ30cm B:高さ45cm C:高さ60cm)この円柱をいくつか積み上げて高さ3mの円柱を作りました。積み上げた円柱にはもとの円柱が3種類とも含まれていて、全体は7個の円柱で出来ていました。この時、A、B、Cそれぞれの個数を求めなさい」

式がわかりません。教えていただけますでしょうか。よろしくお願いいたします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2012/08/09 16:38:36
  • 終了:2012/08/09 17:26:41

ベストアンサー

id:gong1971 No.5

gong1971回答回数443ベストアンサー獲得回数682012/08/09 17:15:20

ポイント30pt

a + b + c = 7 (*1)
30a + 45b + 60c = 300 (*2)

a = 7 - b - c
30(7 - b - c) + 45b + 60c = 300

15b + 30c = 90 (*3)

a , b , c は整数。c >= 3だとb <= 0で条件に合わない。

c = 1 だと (*3) から b = 4 なので (*1)から a = 2 ただし(*2)に合致しない
c = 2 だと (*3) から b = 2 なので (*1)から a = 3 (*2)に合致するので正答

id:nini318313

ありがとうございます。やはり最終的にはこういう形なのですね。よくわかりました。

皆さま本当にありがとうございました。

2012/08/09 17:25:55
id:gong1971

ごめんなさい。単純な計算ミスをしていました。
c = 1 だと (*3) から b = 4 なので (*1)から a = 2 こちらも(*2)に合致します。
という訳で、解は2通り。a , b , c は 3 , 2 , 2 と 2 , 4 , 1 です。

2012/08/09 18:55:09

その他の回答(4件)

id:nanaTigers No.1

水樹回答回数318ベストアンサー獲得回数472012/08/09 16:50:44

ポイント25pt

この説明では「の円柱」を省いていますが、60㎝が~ は 60㎝の円柱が~ という意味としています

60㎝が5本で300㎝

あと2本必要です

しかし高さは変えれません

高さを同じにし、本数を増やすために60㎝を2本減らし30㎝を4本足します

60㎝3本と30㎝4本で300㎝になりました

しかし45㎝を使っていません

高さと本数を同じにし、45㎝を使うために60㎝と30㎝を1本ずつ減らし45㎝を2本足します

60㎝×2+45㎝×2+30㎝×3=120㎝+90㎝+90㎝=300㎝
2+2+3で計7本使いました

これで完成です

id:nini318313

早速ありがとうございます!
どういう方程式で考えるとこういう問題が解けるのかわからないのです。方程式を教えていただけますか?すみません(>_<)

2012/08/09 16:55:39
id:tazikisai-mukou No.2

多食斎友好=世田介回答回数278ベストアンサー獲得回数332012/08/09 16:56:33

ポイント20pt

「宿題は自分でやりなさいね」!!
まず、①3種類を1つずつ使い、3mにたらない分を補足していく。
②45cmは偶数使わないといけない事はわかる?、ならば、30+45+45+60=180だから、(4本)
③あと120cm分 45+45+30でいくか、30+30+60か、60+60か30+30+30+30か 3本で120cmになる組み合わせは自分で考えなさい。(答えは1つではなさそう)

他4件のコメントを見る
id:tazikisai-mukou

kitikoさんの「二次方程式でっていうことですよね。」も間違っています。
3元1次方程式です。
30cmの円柱の本数をX
45cmの円柱の本数をY
60cmの円柱の本数をZとした時
30X+45Y+60Z=300
x+Y+z=7
で未知数3つに対し、式が2つしか立ちません、だから方程式では解けません。
ついでにgong1971さんも解答の一部しか解けてないので、誤りです。

2012/08/09 17:50:13
id:tazikisai-mukou

補足訂正==>(5≧X≧1、5≧Y≧1、5≧Z≧1、X,Y,Zは整数[自然数]とする)が式の条件となります。

2012/08/10 15:16:14
id:tazikisai-mukou No.3

多食斎友好=世田介回答回数278ベストアンサー獲得回数332012/08/09 16:58:31

2重回答になってますので消去します。

id:kitiko No.4

kitiko回答回数463ベストアンサー獲得回数422012/08/09 17:04:49

ポイント25pt

二次方程式でっていうことですよね。

たぶん答えは、

30X+45Y+60(7-X-Y)=300

でとけないでしょうか。

X、Y,Zにしてはいけないと思いますこの場合。

id:nini318313

ありがとうございます。

2012/08/09 17:25:53
id:gong1971 No.5

gong1971回答回数443ベストアンサー獲得回数682012/08/09 17:15:20ここでベストアンサー

ポイント30pt

a + b + c = 7 (*1)
30a + 45b + 60c = 300 (*2)

a = 7 - b - c
30(7 - b - c) + 45b + 60c = 300

15b + 30c = 90 (*3)

a , b , c は整数。c >= 3だとb <= 0で条件に合わない。

c = 1 だと (*3) から b = 4 なので (*1)から a = 2 ただし(*2)に合致しない
c = 2 だと (*3) から b = 2 なので (*1)から a = 3 (*2)に合致するので正答

id:nini318313

ありがとうございます。やはり最終的にはこういう形なのですね。よくわかりました。

皆さま本当にありがとうございました。

2012/08/09 17:25:55
id:gong1971

ごめんなさい。単純な計算ミスをしていました。
c = 1 だと (*3) から b = 4 なので (*1)から a = 2 こちらも(*2)に合致します。
という訳で、解は2通り。a , b , c は 3 , 2 , 2 と 2 , 4 , 1 です。

2012/08/09 18:55:09
  • id:takejin
    方程式を作ることはできても、解法は解析的ではない問題です。
    ある意味、方程式では解けない問題です。
  • id:nini318313
    そうですね。つい式で最終的な答えがでると思って、式を作ることばかり考えていました。

    皆さんに教えていただけて本当によかったです。どうもありがとうございました!
  • id:gong1971
    私の回答内の数式(*3)を下記のように変更し、グラフにプロットします。

    15x + 30y = 90

    「もとの円柱が3種類とも含まれていて」から、グラフ中のX軸より上、Y軸より右の整数の方眼部分に解答がある事が分かります。私の回答(+コメント(^^;)にもあるように、方眼部分と上記数式が交差する点は2点しかないので、この2点が解答。

    -----

    (間違っているかもしれませんが…)方程式では解けないというコメントがありますが、グラフを利用した方程式の解法ってありませんでしたっけ?

    各項は正の整数という条件が提示されていますよね。という事は、a = 1 , a = 2 , a = 3 … b = 1 , b = 2 , b = 3 … c = 1 , c = 2 , c = 3 … という数式も、必要条件として利用できます。

    この必要条件はグラフ上では方眼部分にあたるので、問いから導かれた方程式との交点から解を求めるっていうのも、方程式で解いた事にならない???

    -----

    質問者の方は、中2なのかな?それとも父兄の方かな?差し出がましいようですが、恥ずかしくても、ここまではやってみたというのを書かれた方が、より身に付くと思いますよ。
  • id:takejin
    離散値の解法として、整数の格子を使うのは、アリですね。
    訂正します。方程式で解けなくはない。(負け惜しみいっぱい)
  • id:tazikisai-mukou
    この質問は恐らく、先生に「方程式を立てて解きなさい」といわれたのではないでしょうか。
    「数学を使って問題を解く」のは[手段]であって、[目的]は有りません。
    まず、①問題の本質を正確に掴む、②次に簡単に解く方法を見つける、③他に答えは無いかを確認・・・が大事です。
    この問題は、解法(1つとは限らない)の手順を掴めれば、小学生でも解ける問題です。
    解き方が、幼稚だ(簡単すぎる)からと言って、無理に難しい高度な理論を使って分かり難くする必要は有りません。数学とはその逆、難しく思える問題を、簡単に解く(方法を考える)学問です。
    例えば、1リットル入る断面がかなり複雑な形のガラスの花瓶に500ミリリットルの水を入れた場合の高さを求める場合、各高さごとの断面積を積分して、その高さの近似を求める事ができるが、実際に500ミリリットルの液体を入れれば「一瞬に」答えは出る。そう言う方法を使えない場合、数学の力を利用するのです。

    質問者『この場合は『3m』と『7個』という小さい数字ですが、もっと数が大きくなった場合困るので、簡単に解ける式がないかと思ったのです。』との考えのようですが、これは{NP問題}と言われる部類のモットも簡単な例です。{NP問題}は数が大きくなると極端に解くのが困難になります、もちろん一般的な解法は殆ど有りません。

    類似問題で、例えばこのような問題もできます。(簡単な暗号パスワード)
    ①1mの棒を10本用意します。【それぞれ一端にA~Jまで記号を付けます。】
    ②それぞれの棒を最短5cm、最長95cmの範囲で1cm単位で3~6本に切ります。合計40本にする。
    ③A、B、C順に端から順に長さをメモ(5cmなら05、33cmなら33)する。40個の数字を「受信者」にパスワードとして送る。
    ④一般解答者には、短く切った木の棒の長さをランダムにして公表、A~Jをそれぞれ1mの組にしてA,B,Cの順に並べた10組、40個の数字=「パスワード」として解かせる。
    ⑤作成者(発信者)と受信者はパスワードが分かっているので、暗号は簡単に解けるが、一般解答者には「試行錯誤」しか解く方法はない。①の【】がある場合と無い場合ではかなりの難易度は変化する。
  • id:tazikisai-mukou
    たくさんの回答者さまの回答を見てますと、〔「方程式」が立てられた〕とは、私には思えませんが、少なくとも解法の道筋を示した「公式」?にはなっていると思いました。
    特に「たけじん」さんの、整数格子を使う方法や「gong1971」さんのグラフ利用などは「解法」としては良い方法だと思います。NP問題(この場合は「詰め込み問題」)は、問題毎に場当たり的な解き方になる事が多いですが、ある程度類似の問題を集め、共通性に気が付けば、法則も分かるし、公式や限定適用方程式が作れるのではないかと思います。
    基本、私は責任感のないいい加減な記述ですので、ご考慮ください

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