中2の数学の問題です。「底面積が同じで高さの異なる3種類の円柱があります。（A：高さ30cm　B：高さ45cm　C:高さ60cm）この円柱をいくつか積み上げて高さ3mの円柱を作りました。積み上げた円柱にはもとの円柱が3種類とも含まれていて、全体は7個の円柱で出来ていました。この時、A、B、Cそれぞれの個数を求めなさい」

方程式を作ることはできても、解法は解析的ではない問題です。
ある意味、方程式では解けない問題です。

そうですね。つい式で最終的な答えがでると思って、式を作ることばかり考えていました。

皆さんに教えていただけて本当によかったです。どうもありがとうございました！

私の回答内の数式(*3)を下記のように変更し、グラフにプロットします。

15x + 30y = 90

「もとの円柱が3種類とも含まれていて」から、グラフ中のX軸より上、Y軸より右の整数の方眼部分に解答がある事が分かります。私の回答(+コメント(^^;)にもあるように、方眼部分と上記数式が交差する点は2点しかないので、この2点が解答。

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(間違っているかもしれませんが…)方程式では解けないというコメントがありますが、グラフを利用した方程式の解法ってありませんでしたっけ?

各項は正の整数という条件が提示されていますよね。という事は、a = 1 , a = 2 , a = 3 … b = 1 , b = 2 , b = 3 … c = 1 , c = 2 , c = 3 … という数式も、必要条件として利用できます。

この必要条件はグラフ上では方眼部分にあたるので、問いから導かれた方程式との交点から解を求めるっていうのも、方程式で解いた事にならない???

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質問者の方は、中2なのかな?それとも父兄の方かな?差し出がましいようですが、恥ずかしくても、ここまではやってみたというのを書かれた方が、より身に付くと思いますよ。

離散値の解法として、整数の格子を使うのは、アリですね。
訂正します。方程式で解けなくはない。（負け惜しみいっぱい）

この質問は恐らく、先生に「方程式を立てて解きなさい」といわれたのではないでしょうか。
「数学を使って問題を解く」のは［手段］であって、［目的］は有りません。
まず、①問題の本質を正確に掴む、②次に簡単に解く方法を見つける、③他に答えは無いかを確認・・・が大事です。
この問題は、解法（１つとは限らない）の手順を掴めれば、小学生でも解ける問題です。
解き方が、幼稚だ（簡単すぎる）からと言って、無理に難しい高度な理論を使って分かり難くする必要は有りません。数学とはその逆、難しく思える問題を、簡単に解く（方法を考える）学問です。
例えば、１リットル入る断面がかなり複雑な形のガラスの花瓶に５００ミリリットルの水を入れた場合の高さを求める場合、各高さごとの断面積を積分して、その高さの近似を求める事ができるが、実際に５００ミリリットルの液体を入れれば「一瞬に」答えは出る。そう言う方法を使えない場合、数学の力を利用するのです。

質問者『この場合は『3m』と『7個』という小さい数字ですが、もっと数が大きくなった場合困るので、簡単に解ける式がないかと思ったのです。』との考えのようですが、これは｛NP問題｝と言われる部類のモットも簡単な例です。｛NP問題｝は数が大きくなると極端に解くのが困難になります、もちろん一般的な解法は殆ど有りません。

類似問題で、例えばこのような問題もできます。（簡単な暗号パスワード）
①１ｍの棒を１０本用意します。【それぞれ一端にA~Jまで記号を付けます。】
②それぞれの棒を最短５ｃｍ、最長９５ｃｍの範囲で１ｃｍ単位で３～６本に切ります。合計４０本にする。
③A、B、C順に端から順に長さをメモ（５ｃｍなら０５、３３ｃｍなら３３）する。４０個の数字を「受信者」にパスワードとして送る。
④一般解答者には、短く切った木の棒の長さをランダムにして公表、A~Jをそれぞれ１ｍの組にしてA,B,Cの順に並べた１０組、４０個の数字＝「パスワード」として解かせる。
⑤作成者（発信者）と受信者はパスワードが分かっているので、暗号は簡単に解けるが、一般解答者には「試行錯誤」しか解く方法はない。①の【】がある場合と無い場合ではかなりの難易度は変化する。

たくさんの回答者さまの回答を見てますと、〔「方程式」が立てられた〕とは、私には思えませんが、少なくとも解法の道筋を示した「公式」？にはなっていると思いました。
特に「たけじん」さんの、整数格子を使う方法や「gong1971」さんのグラフ利用などは「解法」としては良い方法だと思います。NP問題（この場合は「詰め込み問題」）は、問題毎に場当たり的な解き方になる事が多いですが、ある程度類似の問題を集め、共通性に気が付けば、法則も分かるし、公式や限定適用方程式が作れるのではないかと思います。
基本、私は責任感のないいい加減な記述ですので、ご考慮ください