1345157761 右の図を使って、数学の問題を考えてみてください。

右の図は
四角形ACDBは平行四辺形であり、辺AB,CDの中点をそれぞれM,Nとする。
辺CAを延直線上にのばし、直線DMとの交点をP,
辺ACを延直線上にのばし、直線BNとの交点をQとする。
点Qを通り、辺MDと平行な直線をLとする。
辺DCを延直線上にのばし、直線Lとの交点をRとする。
右の図は点PとR,MとNを結んだものである。

という図形です。

この図を使って何か問題を作って欲しいです。
合同、相似、動点など種類は何でもOKです。

また、答えも載せてください。お願いします。

回答の条件
  • 1人50回まで
  • 登録:2012/08/17 07:56:01
  • 終了:2012/08/24 08:00:03

回答(7件)

id:atomu613 No.1

atomu613回答回数10ベストアンサー獲得回数12012/08/17 08:19:07スマートフォンから投稿

ポイント29pt

簡単すぎてすいません。
辺QCを5センチとし、辺PCを15センチとすると辺RCと辺DCの長さの比は?
とか、面積比は?などです。

他2件のコメントを見る
id:mkonomi

 
atomu613さんの回答履歴を見てみると、
【小中学生限定!】の質問にも回答しているので、きっと小中学生でしょうね。
 
図らずも、70歳のじじいが孫ほどの小中学生をいじめている構図になってしまいました。
atomu613さんごめんなさいね。
atomu613さん、私のコメントは理解できましたか?
 

2012/08/18 15:34:28
id:atomu613

はい、わかりました。ありがとうございます。

2012/08/19 10:22:09
id:JULY No.2

JULY回答回数966ベストアンサー獲得回数2472012/08/17 13:43:49

ポイント29pt

問題:
□ACDB の面積を1とした時、△PRQ 面積は?

答え:
3/4

解説:
点 A と 点 N を繋ぐ直線を引くと、点 M と点 N がそれぞれ、
辺 AB と 辺 CD の中点である事から、

  • 辺 AC と辺 MN の長さは等しい。
  • 辺 CN と辺 ND の長さは等しい。

また、∠ACN と∠MND が同じであることから、

  • △ACN と△MND は合同 ...... ①

また、∠PCD と∠MND は同じで、∠PDC と∠MDN が同じである事から、

  • △PCD と△MND は相似 ...... ②

であり、点 N が 辺 CD の中点である事から

  • △PCD の高さは、△MND の2倍 ..... ③

になる。

□MNDB の面積はは□ACDB の 1/2 であり、□MNDB の対角線で区切られた△MND の面積は、□MNDB の 1/2 であるから、△MND の面積は□ACDB の 1/4 である。

辺 CD は辺 ND の2倍の長さで、③より、高さも2倍である事から、△ PCD の面積は三角形 MND の4倍の面積となり、よって、△ PCD の面積は、□ACDB の面積の 4 × 1/4 = 1 で、

  • △PCD と□ACDB の面積は等しい ......④

となる。

△AQB と△CQN では、

  • ∠AQB と∠CQN が同じ
  • 辺 AB と辺 CD が平行であることから、∠BAQ と∠NCQ が同じ

なので相似である。

辺 AB と 辺 CN の比が 2:1 である事から、辺 AQ と 辺 CQ の比は 2:1 となり、

  • 辺 AC と辺 CQ の長さは等しい .... ⑤

△ACN と△PCD は、

  • ∠PCD と∠ACN が同じ
  • ① より、∠CNA と∠ CDP が同じ

となるから相似であり、よって辺 AN と 辺 PD は平行。
辺 PD と直線 L が平行である事から、

  • 辺 AN と直線 L も平行 .... ⑥

△CRQ と△ACN は、

  • ∠RCQ と∠ACN が同じ
  • ⑥より、∠CAN と∠ CQR が等しい
  • 辺 AC と辺 CQ が等しい(⑤)

となるから合同。
△ACN と△MND は合同(①)であるから、△CQR の面積は、□ACBD の 1/4。

また、△CRQ と△ACN が合同である事から、辺 RC と辺 CN の長さは等しく、
点 N が辺 CD の中点である事から、辺 RC の長さは、辺 CD の 1/2 となる。

△PRC と△ PCD では、高さが同じで、底辺の長さが 1/2 であり、
△PCD と□ACDB の面積が等しい(④)ことから、△PRC の面積は□ACDB の 1/2 となる。

△PRQ の面積は、△PRC と△ CQR の面積を足しあわせた物となるから、

1/2 + 1/4 = 3/4

う~ん、もっと簡単に求められる気がするなぁ....
△PCD の面積が、□ACBD と同じ事は、点 P を通る平行四辺形を考えれば、もっと簡単に出てきそう。

id:kazuki55 No.3

kazuki55回答回数4ベストアンサー獲得回数02012/08/17 13:44:33

ポイント29pt

意外と難しいですね。
もう少し考えさせてください

id:mkonomi

 
現時点で、kazuki55さんはもういらっしゃらないようですね。
http://q.hatena.ne.jp/kazuki55/
では

ページが見つかりません。
URLをご確認ください。

と表示されます。
 

2012/08/21 16:51:54
id:Tomoya530

多忙の為期日にポイント配分出来なくなってしまったのです^ ^;
大変失礼しました。

2012/09/07 20:37:59
id:mkonomi No.4

mkonomi回答回数651ベストアンサー獲得回数452012/08/17 20:28:02

ポイント29pt

《問 題》
三角形ACNの面積を基準面積として、五角形PRQDBの面積はその何倍ですか?
 
《回 答》
五角形PRQDBの面積は基準面積の11倍
 
《ヒント1》

以下の5つ辺の長さはみな同じ
PA (要証明)
AC ○(自明)
CQ (要証明)
MN ○(自明)
BD ○(自明)

《ヒント2》

以下の5つ辺の長さはみな同じ
RC (要証明)
CN ○(自明)
ND ○(自明)
AM ○(自明)
MB ○(自明)

《ヒント3》

以下の11個の三角形の面積はいずれも基準面積(三角形ACNの面積)
三角形ACN ○(自明)
三角形ANM ○(自明)
三角形BMN ○(自明)
三角形BND ○(自明)
三角形PAM (要証明)
三角形PMB (要証明)
三角形QDN (要証明)
三角形QNC (要証明)
三角形QCR (要証明)
三角形RCA (要証明)
三角形RAP (要証明)
この11個の三角形を合わせると五角形PRQDBになる

 
《基本的性質》
△ACN≡△NMA≡△MND≡△DBM・・・(1)
(証明容易につき省略)
∴面積ACN=面積NMA=面積MND=面積DBM=基準面積

(1)より
∠ACN=∠NMA=∠MND=∠DBM=θ1・・・(2)
∠CNA=∠MAN=∠NDM=∠BMD=θ2・・・(3)
∠NAC=∠ANM=∠DMN=∠MDB=θ3・・・(4)

(1)より
辺AC=辺NM=辺MN=辺DB=L1・・・(5)
辺CN=辺MA=辺ND=辺BM=L2・・・(6)
辺NA=辺AN=辺DM=辺MD=L3・・・(7)


《証明1》
対頂角∠AMP=∠BMD=θ2
AM平行CN ∴∠PAM=∠ACN
(2)より
∠PAM=∠ACN=∠DBM=θ1
(6)より
辺MA=辺BM=L2
△PAM≡△DBM・・・(8)
面積PAM=面積DBM=基準面積

(6)より辺MA=辺BM=L2
面積PMB=面積PAM=基準面積

(8)により
辺PA=辺DB=L1・・・(9)

《証明2》
NC平行BM ∴∠QNC=∠NBM
CN平行AM ∴∠QCN=∠CAM
CA平行NM ∴∠CAM=∠NMB
∴∠QCN=∠CAM=∠NMB
(6)により
辺CN=辺MB=L2
△QNC≡△NBM・・・(10)
面積QNC=面積NBM=面積DBM=基準面積

(5)(10)により
辺CQ=辺MN=L1・・・(11)

(6)より
辺ND=辺CN=L2
面積QDN=面積QNC=基準面積

《証明3》
対頂角∠QCR=∠ACN=θ1
RQ平行MP ∴∠RQC=∠MPA
(8)より∠MPA=∠NAC=θ3
∴∠RQC=∠MPA=∠NAC=θ3
(5)(11)より
辺CQ=辺AC=L1・・・(12)
△QCR≡△ACN・・・(13)
面積QCR=面積ACN=基準面積

(9)(12)より
辺PA=辺CQ=辺AC=L1
面積RAP面積RCA=面積QCR=基準面積

(6)(13)より
辺RC=辺CN=L2

id:Silvanus No.5

Silvanus回答回数174ベストアンサー獲得回数672012/08/17 20:50:21

ポイント28pt

ネタです。真面目に考えないで下さい。
数学的に厳密な表現になっていない部分はお許しを。
「辺ABを固定し、辺ACの長さを一定とすると、
点Cの軌跡は(当然)点Aを中心とする半径ACの円となる。
このとき、次の問いに答えなさい。
(1) 点Cと点Pの軌跡が一致することを示しなさい。
(2) 点Qはどの様な軌跡を描くか、説明しなさい。
(3) 点Rはどの様な軌跡を描くか、説明しなさい。
(4) ACとABの辺の長さがAC=AB/3の関係を満たすとき、
4つの点R,P,N,Dの軌跡は何を描き出すか、答えなさい。
-----
【略答例】
(1) △PAM≡△DBM [二角夾辺相等]
∴PA=DB [対応辺] =AC [平行四辺形の対辺]
∴AP=AC ∴点Cと点Pは共に、点Aを中心とした半径AC=APの円を描く [QED]
(2) 上記(1)と同様にQC=AC ∴AQ=AC+CQ=2AC
∴点Qは、点Aを中心とした半径2ACの円を描く
(3) ANをひく AM(平行&等長)ND ∴ANMDは平行四辺形
∴AN(平行)MD(平行)RQ またAC=QC[(2)]
∴△ACN≡△QCR [二角夾辺相等] ∴NC=CR[対応辺]
∴辺MAをA方向へ延長し、AA'=AM=NC=CRとなる点A'をとると
点Rは、点A'を中心とした半径ACの円を描く
(4) ●udi

… しつれーしましたー!

他4件のコメントを見る
id:mkonomi

 
4つのリングの重なり具合まで酷似していますが、これは
AC=AB/3
としたためですね。
 

2012/08/21 11:43:02
id:Silvanus

謂わば「ダジャレ」的なものですから
ユーモアのセンス云々というところまでは行かないかとw
最初は、辺AC固定で、真面目な(!?)軌跡の問題を作っていたのですが
解答例を作成している内に面倒臭くなってしまって(苦w)
より簡単な辺AB固定に切り換えて、更にネタに走ってしまいました…。

2012/08/21 12:40:10
id:mkonomi No.6

mkonomi回答回数651ベストアンサー獲得回数452012/08/20 19:00:32

ポイント28pt

《問 題》
辺PRの長さは辺MQの長さと等しいことを証明しなさい
 
《ヒント》
PM平行QR(MD平行QR):既知
 ↓
四辺形PRQMは平行四辺形であることを示せば良い。
 ↓
辺PM=辺QRを示せば良い。
 ↓
△PAM≡△QCRを示せば良い。
 
──────────
  《回 答》
──────────
《証明第1段階》
四辺形AMDNは平行四辺形である。(証明容易につき省略)
∴AM平行DN⇒AM平行CN、MD平行NA⇒PM平行NA

AM平行CN ∴∠PAM=∠ACN・・・(1)

PM平行NA ∴∠PMA=∠NAM
PM平行NA ∴∠NAM=∠ANC
∴∠PMA=∠ANC・・・(2)

辺AM=辺CN:既知・・・(3)
(1)(2)(3)により△PAM≡△ACN・・・(4)

《証明第2段階》
NC平行BM ∴∠QNC=∠NBM・・・(5)

CN平行AM ∴∠QCN=∠CAM
CA平行NM ∴∠CAM=∠NMB
∴∠QCN=∠CAM=∠NMB・・・(6)

辺CN=辺AM=辺MB・・・(7)
(5)(6)(7)により△QNC≡△NBM
∴辺QC=辺NM=辺CA・・・(8)

《証明第3段階》
PD平行RQ:既知 ∴∠QRC=∠NDM
AN平行DM ∴∠NDM=∠ANC
∴∠QRC=∠ANC・・・(9)

対頂角∠QCR=∠ACN・・・(10)

(8)(9)(10)により△QCR≡△ACN・・・(11)

《証明第4段階》
(4)(11)により△QCR≡△PAM
∴辺PM=辺QR
PM平行QR:既知
四辺形PRQMは平行四辺形である
∴辺PR=辺MQ
 

id:maya70828 No.7

楽1978回答回数1364ベストアンサー獲得回数1392012/08/24 06:32:39

ポイント28pt

点Pから点Qまでを各点通るようにするにはどういう経路にすればいいか?
ただし、各点を2回通ってはいけない。

答え
PAMBDNCRQの順

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