iPhoneです。昨日から何故か画面が固まったり、アプリがきちんと起動しなかったりします。ウイルスでしょうか？対策法や対処法はありますか？

いろいろと原因が考えられるので、一概にウィルスとは言い切れません。
僕ならその症状ならメモリカードを疑います。
PCに接続してみて、チェックツールを実行できるなら実行してみたりして下さい。
Windowsだと
chkdsk (メモリカードのドライブ):
コマンドでチェックできます。

再起動してみると軽くなるかもしれません。
http://support.apple.com/kb/HT1430?viewlocale=ja_JP

デバイスの再起動
　　　スリープ／スリープ解除ボタンを、赤い「電源オフ」スライダが表示されるまで数秒間押し続け、スライダをスライドします。
　　　スリープ／スリープ解除ボタンを押したまま、Apple ロゴが表示されるまで待ちます。

再起動後youtubeの動作（過去質問 http://q.hatena.ne.jp/1346191787 ）も確認してみてください。

windofjulyさんと少し似てるのですが以下を試してみて下さい。

スリープ／スリープ解除ボタン(iPhoneの上にある横長のボタン)を、赤い「電源オフ」スライダが表示されるまで数秒間押し続けます。
表示されたらホームボタン(丸いボタンに四角マーク)を長押しします。

画面が真っ暗になるので、スリープ／スリープ解除ボタンを長押しして電源をいれて下さい。

そもそもiPhone含むスマホの類は、使用者の見えないところで色々なデータを保持しています。
それを電源を入れ直したり特定の項目で削除したりする事で開放出来ます。
今回の電源入切はメモリーの開放ですね。