Can you solve this problem?

http://mathematicsforstudents.wordpress.com/2012/03/31/can-you-solve-this-problem/
の問題、
8809=6
7111=0
などの21個の式に基づいて
2581=??
の値を求めるものです。
 
This problem can be solved by pre-school children in five to ten minutes.
などのヒントがあります。
 
未就学児が5~10分でわかるということは
数の概念を離れて、数字の字形のパターンに注目するということのようです。
数字の字形に含まれる閉じた円(丸)の個数との観点では
2581=2
となります。
与えられた21個の式から論理的に答を求めても同じ答えが得られます。
 
ところが、
問題をちょっとだけ変えて
21個の式は元のままで
2584=??
と変えてみると、閉じた円の個数の観点では前と同じで
2584=2
となりますが、
21個の式からは論理的に答を求めることはできません。
 
何故このようなことになるのかを論理的に説明してください。
 

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2012/09/22 11:00:18
  • 終了:2012/09/28 10:28:10

ベストアンサー

id:Silvanus No.2

Silvanus回答回数174ベストアンサー獲得回数672012/09/23 13:54:07

ポイント70pt

元となる問題は、提供されている条件式の左辺を独立変数x、

右辺を従属変数yとする関数f(x)=yを決定するものと凡そ読み換えられると思います。


独立変数xを、十進数表記した際の各位の数字(千位から一位へ順に)
p,q,r,sで表現するとして(x=1000p+100q+10r+s、p,q,r,sは0以上9以下の整数、
※但し最上位桁から連続する0を許容しなければならない)、
少なくとも次のことが言えていなければ本問題は成立せず
解くことも出来ないと思います。


---

[1] 「y=f(x)=f(p)+f(q)+f(r)+f(s)が常に成立する」


1) yの値は、独立変数xを十進数表記した際の各位の数字個々を独立変数とした

  関数の和に等しい。つまり桁の順序を入れ替えても値が変わらない。

  (関数の定義域には、4桁でない数値も含み得るが、「0以上の整数」でない
   数値については含まれないものと考える。)


2) 関数の演算過程で特定の桁の取り出しや四捨五入等の丸め、符号の変換等の
  特殊な操作が行われていない。


[2] 「値域は0以上の整数である」

---

「数字の字形のパターンに関係」という但し書きがあり、且つ
「条件式群がテキスト形式ではなく画像ファイルとして提供されている」
(つまり数字が、解答者の閲覧環境(フォント設定)に依存して変化せず
出題者の規定した特定の字形で解答者に提供されている)ならば
(これでも未だ完全ではありませんが)先に記した前提条件[1][2]は
「(恐らく)満たされているもの」として話ができます。

ですので、本問題は「数字の字形のパターンに関係」という条件があって
漸く(辛うじて)「論理的アプローチ」が可能なのであって
「論理的アプローチでは数字の字形のパターンはまったく関係ない」という
表現はあたらないのではないかと思います。

---

「数字の字形」に関係有るか否かは置いておくとして、
本問において上記の前提条件が満たされている限りにおいては
条件式群から以下のことが判ります。
(※前提条件があれば、示されている21個全ての式が必要な訳ではありません。)

f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(5)=f(7)=0, f(6)=1, f(8)=2, f(9)=1

条件式群の左辺(独立変数)の数値の桁に
一度も「4」が登場していないので、f(4)の値は知り様がありません。
よって、条件式として、左辺に「4」を含むものが1つでも追加されたならば
(4以外の数値の桁tに対するf(t)は全て明らかになっているので)
全ての定義域におけるf(x)を求めることができます。

他6件のコメントを見る
id:mkonomi

> 関数の和に等しい。つまり桁の順序を入れ替えても値が変わらない。
良く考えると、これは論理的に解決できるための必要条件ですが、
これをキープするだけで論理的に解決できるとはかぎりません。
 

2012/09/28 07:13:02
id:Silvanus

はい。必要十分でないのは承知しておりましたので、最初に
「少なくとも次のことが言えていなければ…」と断りました。

2012/09/28 09:53:26

その他の回答(1件)

id:taknt No.1

きゃづみぃ回答回数13538ベストアンサー獲得回数11982012/09/22 11:05:35

ポイント30pt

4と言う数字をどのように扱うかの定義が不明なためですね。

例が 閉じられた空間の数ならば 4は 1として扱われますが
例が○の数ならば 4は △なので 4は 0となってしまいます。

ということでしょうか。

id:mkonomi

>定義が不明
近いですが、ピンポイントではありません。
論理的アプローチでは数字の字形のパターンはまったく関係ありません。

2012/09/22 18:25:53
id:mkonomi

質問者から 2012/09/22 11:36:50
条件式をあとひとつ追加すれば数字の字形のパターンとは関係なく論理的に解決できます。

《例1》追加条件式が1234=2で 2584=4
《例2》追加条件式が9864=7で 2584=5

ひとつ極端な例を示せば
《例3》追加条件式が1234=98で 2584=100

───
追記2012/09/23
論理的な手順で答を求めてみましょう。
0,1,...,9 の各荷重を W0,W1,...,W9(各非負)とし、
 
8809=6 W8+W8+W0+W9=6
7111=0 W7+W1+W1+W1=0
などの21個の条件式に基づいて
2581=? W2+W5+W8+W1=?・・・①
を求める。
 
次に同じ21個の条件式のもとで
2584=? W2+W5+W8+W4=?・・・②
を求める。
 
数字の字形に含まれる閉じた円(丸)の個数との観点では
①、②とも答は同じで2です。
 
論理的アプローチによれば
①の答は2ですが、
②の答は不定
であることを、論理を追って説明してください。
 

id:Silvanus No.2

Silvanus回答回数174ベストアンサー獲得回数672012/09/23 13:54:07ここでベストアンサー

ポイント70pt

元となる問題は、提供されている条件式の左辺を独立変数x、

右辺を従属変数yとする関数f(x)=yを決定するものと凡そ読み換えられると思います。


独立変数xを、十進数表記した際の各位の数字(千位から一位へ順に)
p,q,r,sで表現するとして(x=1000p+100q+10r+s、p,q,r,sは0以上9以下の整数、
※但し最上位桁から連続する0を許容しなければならない)、
少なくとも次のことが言えていなければ本問題は成立せず
解くことも出来ないと思います。


---

[1] 「y=f(x)=f(p)+f(q)+f(r)+f(s)が常に成立する」


1) yの値は、独立変数xを十進数表記した際の各位の数字個々を独立変数とした

  関数の和に等しい。つまり桁の順序を入れ替えても値が変わらない。

  (関数の定義域には、4桁でない数値も含み得るが、「0以上の整数」でない
   数値については含まれないものと考える。)


2) 関数の演算過程で特定の桁の取り出しや四捨五入等の丸め、符号の変換等の
  特殊な操作が行われていない。


[2] 「値域は0以上の整数である」

---

「数字の字形のパターンに関係」という但し書きがあり、且つ
「条件式群がテキスト形式ではなく画像ファイルとして提供されている」
(つまり数字が、解答者の閲覧環境(フォント設定)に依存して変化せず
出題者の規定した特定の字形で解答者に提供されている)ならば
(これでも未だ完全ではありませんが)先に記した前提条件[1][2]は
「(恐らく)満たされているもの」として話ができます。

ですので、本問題は「数字の字形のパターンに関係」という条件があって
漸く(辛うじて)「論理的アプローチ」が可能なのであって
「論理的アプローチでは数字の字形のパターンはまったく関係ない」という
表現はあたらないのではないかと思います。

---

「数字の字形」に関係有るか否かは置いておくとして、
本問において上記の前提条件が満たされている限りにおいては
条件式群から以下のことが判ります。
(※前提条件があれば、示されている21個全ての式が必要な訳ではありません。)

f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(5)=f(7)=0, f(6)=1, f(8)=2, f(9)=1

条件式群の左辺(独立変数)の数値の桁に
一度も「4」が登場していないので、f(4)の値は知り様がありません。
よって、条件式として、左辺に「4」を含むものが1つでも追加されたならば
(4以外の数値の桁tに対するf(t)は全て明らかになっているので)
全ての定義域におけるf(x)を求めることができます。

他6件のコメントを見る
id:mkonomi

> 関数の和に等しい。つまり桁の順序を入れ替えても値が変わらない。
良く考えると、これは論理的に解決できるための必要条件ですが、
これをキープするだけで論理的に解決できるとはかぎりません。
 

2012/09/28 07:13:02
id:Silvanus

はい。必要十分でないのは承知しておりましたので、最初に
「少なくとも次のことが言えていなければ…」と断りました。

2012/09/28 09:53:26
id:mkonomi

質問者から 2012/09/24 00:00:32
【問題の一般化】(単なるコメントです)
オリジナルの問題をより一般化すれば、
『m個のシンボルがあって、それぞれのシンボルは価値係数を有している。
個々の価値係数は分からないが、p個づつのシンボルのセットがn組あって、
各セットには同じシンボルをいくつ含んでもよいものとする。
各セットの価値係数の総和の値は分かっている。
新たに指定されたp個のシンボルのセットの価値係数の総和を求めよ。』
となります。

この一般化した問題において
  m=10
  n=21
  p=4
  「シンボル」を数字の文字形状
  「価値係数」を数字の文字形状に含まれる閉じた円(丸)の個数
として具体化すれば、オリジナルの問題になります。

◇───◇
追記1(2012/09/24 22:14:52)
【簡単な具体化例】
前記の一般化した問題において
  m=5
  n=7
  p=3
  「シンボル」を箱の色
  「価値係数」を箱に入っているボールの個数
として具体化すれば、次のような設問ができます。

即ち、質問文で引用しているオリジナル問題とこの設問は親戚関係です。

【設問】
┌─ここから設問───
赤(R)、緑(G)、青(B)、黄(Y)、白(W)の5色の箱がそれぞれ複数個あって、
色ごとに一定の個数のボールがはいっている。
各箱にはいっている個数は知らされていない。
下記※1のように3個の箱の組み合わせが7組あって、
それぞれの組のボールの総和は分かっている。
この時、別の3個の箱の組み合わせ(下記※2)のボールの総和はいくつか?
※1
{RBY}:13
{RRW}:11
{GBW}:13
{BBY}:11
{BWW}:11
{YWW}:19
{RWW}:13

※2
{RGB}:?
└─ここまで設問───


《コメント》
質問文で引用しているオリジナル問題と同様にいくつかの条件式が過剰です。

《解き方の一例》

{RRW}:11
{RWW}:13
   から⇒{R}:3、{W}:5

{W}:5
{BWW}:11
   から⇒{B}:1

{GBW}:13
{B}:1
{W}:5
   から⇒{G}:9

{R}:3
{G}:9
{B}:1
   から⇒{RGB}:11
∴{RGB}:11

なお、以下の条件は過剰条件です。
{RBY}:13
{BBY}:11
{YWW}:19
過剰条件を検証すると矛盾はありません。
なお、過剰条件からは
{Y}:9
が得られます。

◇───◇
追記2(2012/09/26 01:33:37)
【さらに簡単な具体化例】
前記の一般化した問題において
  m=3
  n=4
  p=3
  「シンボル」を文字 x,y,z
  「価値係数」をx,y,zの値
として具体化すれば、次のような設問ができます。

【設問】
┌─ここから設問───
3つの文字 x,y,zがあって、
各文字ごとに一定の値を持っている。
各文字の値は知らされていない。
下記※1のように3個の文字の組み合わせが5組あって、
各組の文字の値の総和は分かっている。
この時、別の3個の文字の組み合わ(下記※2)の文字の値の総和はいくつか?
※1
{x,x,y}=19
{x,x,z}=17
{y,y,z}=13
{x,z,z}=13
{y,z,z}=11

※2
{x,y,z}=??
└─ここまで設問───

ここまで簡単化すれば一見して普通の連立一次方程式ですね!
この設問も質問文で引用しているオリジナル問題と親戚関係です。
答は
{x,y,z}=15
です。

《コメント》
この設問も質問文で引用しているオリジナル問題と同様にいくつかの条件式が過剰です。

◇───◇
追記3(2012/09/27)
【最も簡単と思われる具体化例】
前記の一般化した問題において
  m=2
  n=2
  p=3
  「シンボル」を文字 α,β
  「価値係数」をα,βの値
として具体化すれば、次のような設問ができます。

【設問】
┌─ここから設問───
2つの文字 α,βがあって、
各文字ごとに一定の値を持っている。
各文字の値は知らされていない。
下記※1のように3個の文字の組み合わせが2組あって、
各組の文字の値の総和は分かっている。
この時、別の3個の文字の組み合わ(下記※2)の文字の値の総和はいくつか?
※1
{α,α,β}=13
{α,β,β}=11

※2
{α,α,α}=??
└─ここまで設問───

これは二元連立一次方程式ですね!
この設問も質問文で引用しているオリジナル問題もどちらも同じ一般化した問題
を具体化したものですから同族です。
答は
{α,α,α}=15
です。

《コメント》
この設問では質問文で引用しているオリジナル問題とは異なり過剰な条件式はありません。

  • id:taknt
    >条件式をあとひとつ追加すれば数字の字形のパターンとは関係なく論理的に解決できます。

    この追加するものには 必ず 4 が含まれていないとダメですよね。
  • id:mkonomi
    その通りです。
  • id:taknt
    21個の条件式には 4を除く0から9までの数値がすべて使われています。

    そのため 4を用いた場合の影響を 論理的に導きだすことは不可能です。
    なので ②の答えは 不定(わからない)なのです。
  • id:mkonomi
    その通りです。
     
    オリジナルの問題では数字の字形に含まれる閉じた円(丸)の個数との観点での
    答と論理的アプローチによる答えが同じになります。
    もしも条件式の個数が不足していると論理的アプローチでは
    2581=?
    も不定になります。
     
    オリジナルの問題では論理的アプローチでも同じ答えになることを式を追って証明してみてください。
     
    実は、オリジナルの問題では条件式が過剰です。
    過剰な条件式は無くても答を求めることができます。
    過剰な条件式の組は一意ではありませんが、その一例を示してください。
    (式を追って証明する過程で自然に判明します)
     
  • id:mkonomi
    >なので ②の答えは 不定(わからない)なのです。
    そうです。
    ②の答えは「不定(定まらない)」であって「不能(求めらない)」のではありません。
    答は無数にあるのです。
    有効な条件式をひとつ追加すれば、答がひとつ定まります。
     
  • id:mkonomi
    > 有効な条件式をひとつ追加すれば、答がひとつ定まります。

    以下の各《例》において、元々の問題にある21個の条件式に新たに加える条件式(4を含む)
    をひとつだけに限ることにします。

    もっともプリミティブな例は
    《例1》追加が4444⇒0で A4=02584⇒2 ←◎
    です。
    ◎印は未就学児が視覚的にとける答と同じです。

    先の論理的アプローチに沿ったプロセスにおいてW4が不定だったということは
    W4はどのような値にでもなり得るということですから、以下のような例も成り立ちます。
    《例2》追加が4444⇒4で 2584⇒3
    《例3》追加が4444⇒8で 2584⇒4
    《例4》追加が4444⇒12で 2584⇒5

    《例5》追加が1234⇒0で 2584⇒2 ←◎
    《例6》追加が1234⇒1で 2584⇒3
    《例7》追加が1234⇒2で 2584⇒4
    《例8》追加が1234⇒3で 2584⇒5

    《例9》追加が9864⇒4で 2584⇒2 ←◎
    《例10》追加が9864⇒5で 2584⇒3
    《例11》追加が9864⇒6で 2584⇒4
    《例12》追加が9864⇒7で 2584⇒5

    ひとつ極端な例を示せば
    《例13》追加が1234⇒98で 2584⇒100
  • id:mkonomi
    ついでに思いついた設問ですが、ポイントとは関係なく、論理遊びにお付き合いくだ
    さる方はこのコメント欄にてコメントしてください。
     
    【追加設問】
    オリジナルの問題において
    21個の条件式すべては用いずに、最小個数の条件式を用いて
    2581=?
    の答
    2581=2
    を論理的アプローチで導くためには使用する条件式の個数は何個でしょうか?
    (私は21個の条件式のうちの5個だけを使えばできると思います。)
    その個数が最小個数であることを論理的に証明できますか?
     
  • id:mkonomi
     
    上記【追加設問】の答
     
    2581=?
    2581=? W2+W5+W8+W1=?
     
    W2、W5、W8、W1 のそれぞれがひとつの条件式、即ち4つの条件式から決まれば最小条件式数
     
    W2、W5、W1はそれぞれひとつの条件式から決まる。
    2222⇒0 W2=0
    5555⇒0 W5=0
    1111⇒0 W1=0
     
    W8はひとつだけで決まる条件式はない。
    W8がふたつつの条件式で決まれば最小条件式数
     
    W8はふたつの条件式で決まる。
    6666⇒4 W6=1
    6855⇒3 W6+W8+W5+W5=3
        1+W8+0+0=3
        W8=3
     
    W2、W5、W8、W1 は5つの条件式から決まり、これが最小条件式数
     
  • id:mkonomi
    先の私のコメント(投稿日時: 2012/09/23 17:42:36)に【誤記】があることに気づきました。
    そのコメントを書き換えると、コメントの順が変わって流れが分かりにくくなるのでここで説明します。

    > 《例1》追加が4444⇒0で A4=02584⇒2 ←◎

    《誤記訂正》
    【誤】A4   → 【正】W4
    【誤】02584 → 【正】0 2584  (0と2の間にスペース)

    《例1》追加が4444⇒0で W4=0 2584⇒2 ←◎
     

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