数学の不等式の問題について

(x-1)(x-2)(x-3)>0
の式が
1<x<2、x>3
となる理由が分かりません。
解説をお願いします。

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  • 登録:2012/09/22 22:17:09
  • 終了:2012/09/29 22:20:03

回答(3件)

id:hissssa No.1

hissssa回答回数419ベストアンサー獲得回数1262012/09/22 22:46:27

式(x-1)(x-2)(x-3)>0の意味する所は、「(x-1)×(x-2)×(x-3)の結果が正の数になる」という事です。
この式は、「(x-1)」と「(x-2)」と「(x-3)」の、計3つの数の掛け算になっていますが、掛け算の結果が正の数になるのはどういう事でしょうか?
2つの数の掛け算の結果が正になるのは、掛けられる2つの数が両方とも正であるか、両方とも負であるかのどちらかです。どちらか一方が負であれば、結果は負になってしまいます。

(正の数)×(正の数)>0
(負の数)×(負の数)>0
(正の数)×(負の数)<0
(負の数)×(正の数)<0

今回の式の場合、3つの数の掛け算ですので、この3つの数の全てが正であるか、3つ中2つが負であるかのどちらかの場合のみ結果が正になります。
x>3の場合、「(x-1)」と「(x-2)」と「(x-3)」は、全て正の数になりますので、当然結果も正になります。
x<1の場合、3つの数は全て負になりますので、結果は負になってしまいます。
1<x<2の場合、「(x-1)」は正になりますが、「(x-2)」と「(x-3)」は負になります。3つ中2つが負なので、全体の結果は正になります。
2<x<3の場合、「(x-1)」と「(x-2)」は正になりますが、「(x-3)」は負になります。3つ中1つが負なので、全体の結果は負になります。
なお、x=1、x=2、x=3のいずれかのときは、「(x-1)」と「(x-2)」と「(x-3)」のどれかがゼロになります。掛け算の中にゼロが入ると結果はゼロになるので、>0の条件は満たしません。

よって、条件を満たすのは1<x<2の時とx>3の時となります。

id:martyan No.2

martyan回答回数98ベストアンサー獲得回数122012/09/23 00:42:54

図を書くとわかりやすいです
https://www.google.co.jp/search?q=y%3D%28x-1%29*%28x-2%29*%28x-3%29&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:ja:official&hl=ja&client=firefox-a

|------/\---------------/
|-----/-----\---------/
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
|---/--------------\/
|--/
|-/----1-----2----3
|/
x-yプロット上のy=(x-1)(x-2)(x-3)の関数としてみた場合、
この関数はおおまかに見て右上がりの関数になり
(x^3の項が大きく利くので-∞でyはー、+∞でyは+)
x軸との交点はx=1,2,3になる
x<1ではy<0
x=1でx軸と交差してそのままの勢いで上に行き
1<x<2ではy>0
x=2でx軸と交差し
2<x<3でy<0
x=3でx軸と交差し
x>3でy>0
なので
(x-1)(x-2)(x-3)>0の示す範囲というのは、
1<x<2、x>3

id:rsc96074

そうそう、グラフを描くのが一番簡単です。

2012/09/23 10:45:35
id:drakiti63 No.3

なごやん63回答回数417ベストアンサー獲得回数382012/09/23 06:09:32

(x-1)*1正であれば、(x-3)も正となり、、順を追って計算してくと、ぜんしゃが、1<x<2デ、後者がx>3になります。そして(x-1)(x-2)(x-3)>0答えは前記の答えだけではありません、問題にxがどの領域化によって答えが何通りもあります。

*1:x-2

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