a,bは互いに素である自然数(1以上の整数とする)としたら、

a+b,aも互いに素である自然数になりますか?証明も出来たらお願いします。

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  • 登録:2012/10/04 22:42:08
  • 終了:2012/10/06 08:32:26

ベストアンサー

id:matryosika No.1

matryosika回答回数36ベストアンサー獲得回数142012/10/05 02:41:31

なります。証明は下の通りです。

proof
a,bは互いに素な数であるとする。・・・①
このとき、a,a+bが互いに素ではないと仮定し論証を進めていく。
互いに素ではない二数は共通因数を持つので、
a=su,a+b=tu s,tは互いに素な数、uは共通因数・・・②
と表すことができる。
このとき、②より、
b=tu-a=tu-su=(t-s)u
となり、bはa=suと共通因数uを持つことになる。
しかし、これは、前提である①に反してしまい、「a,a+bは互いに素ではない」という仮定が間違っていることになる。
故に、a,bが互いに素ならばa,a+bも互いに素になる。
Q.E.D.

この証明では背理法を使っています。

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