匿名質問者
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高1です。数Iで下記のような問題が出ました。

・BC=2、∠A=45度のとき、三角形ABCの面積の最大値はいくつか

この解き方を教えて頂けないでしょうか…
AB、ACの長さも不明ですから三角形の面積の公式も使えないですし…
「最大値はいくつか」ということは、二次関数的に表せるということなのでしょうか…?

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2012/11/27 21:19:39
  • 終了:2012/11/28 19:41:19

ベストアンサー

匿名回答4号 No.3

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2012/11/28 07:59:15

 BCを弦として、円周角45°となる点Aの軌跡を考えると、AB=ACのとき、高さ最大。つまり、面積最大。
 AB=AC=xとして、余弦定理を使って、xを求めて、三角形の面積の公式S=(1/2)AB*AC*sin[A]を使う。

匿名質問者

回答ありがとうございます。
4号さんの回答で、ばっちり分かりました!

2012/11/28 19:40:57

その他の回答(2件)

匿名回答2号 No.1

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2012/11/27 23:01:03

∠A=45が固定ですから、
∠Bが何度のときは∠Cが何度、といくつかパターンを考えてみます。

三角形の内角の和は180度ですから、
∠Bが15度のとき∠Cは120度
∠Bが45度のとき∠Cは90度
∠Bが90度のとき∠Cは45度
∠Bが120度のとき∠Cは10度です。

大体これくらいおおざっぱに書きだしてみました。
実際に紙に絵を描いてみましょう。

そして、点Aから、線分BCに垂線を引いてみます。

三角形の公式があれば、どの長さが最大のとき、面積が最大か分かりますね。
その長さが最大となるのは、三角形ABCがどんな形のときでしょう?
そして、その面積はいくつでしょう?

匿名質問者

ご回答ありがとうございます。
絵に書くと、点Aが線分BCと平行な線上を移動しているようになる…でしょうか?(自信なし)-※

あとはコメントで書いた通り、直角二等辺三角形の時AHが2と分かるので
底辺2×高さ2÷2で、面積は2。

※で書いた内容が正しければ、どんな形の三角形でも高さは全部2になるから、
面積は全部同じになるような…。

2012/11/27 23:25:07
匿名回答2号

∠Aが45度、∠Bが10度、BCが2の三角形をイメージしてください。
ずいぶんと平べったい三角形になっているはずです。

2012/11/29 01:27:00
匿名回答3号 No.2

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2012/11/28 00:29:31

回答1号さん、回答2号さんと同じですが、例えばACの長さをうんと短く0.1にしてみましょう。ABはBCよりもちょっと長いですね。しかし面積はうんと小さくなる。同様にABを0.1にしても面積は小さくなる。

匿名質問者

回答ありがとうございます。
なるほど、確かに提示して頂いた例ですと面積は小さくなりますね。

つまり2号さんへの返信で書いた※の部分は間違っていて、高さAHは変動するということですね。
ということは、AHが最大になるのはAB=ACの時…?なのでしょうか…??
イメージができません…

2012/11/28 00:50:09
匿名回答4号 No.3

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2012/11/28 07:59:15ここでベストアンサー

 BCを弦として、円周角45°となる点Aの軌跡を考えると、AB=ACのとき、高さ最大。つまり、面積最大。
 AB=AC=xとして、余弦定理を使って、xを求めて、三角形の面積の公式S=(1/2)AB*AC*sin[A]を使う。

匿名質問者

回答ありがとうございます。
4号さんの回答で、ばっちり分かりました!

2012/11/28 19:40:57
  • 匿名回答1号
    匿名回答1号 2012/11/27 21:44:15
    実際に図を描くみたら直ぐに解りますよ。
    紙の下の方に、水平に線分BCを引いて、∠BACがおおよそ45°になる様な点Aを
    BCの上方に何点か描いてみるんです。
    例えば点Bに近いところではどうか、点Cに近いところではどうか、
    そして、点Bと点Cからほぼ等距離にある場合はどうか、という風に。私の
    学生時代は遥か昔なので、今と随分課程が違いますが、我々の頃は中学校で習った内容です。
  • 匿名質問者
    匿名質問者 2012/11/27 23:02:06
    コメントありがとうございます。

    点Aから、線分BCの延長線に向かって垂線をひき交点をHとすると…
    底辺の長さが2で固定、∠Aも45度で固定されているので、どんなに∠Bと∠Cの比率が変わっても
    AHの長さは変わらない。

    特に∠Cが90度になる場合は、∠Bは45度になりAC=BCの直角二等辺三角形となる。
    この時、点Hは点Cとかぶるから、AHは2と分かる。

    底辺BCが2、高さAHが2だから底辺×高さ÷2=…
    という考え方でいいのでしょうか…??
    これだと、三角形の面積の「最大値」という問はちょっと変ですね、
    面積は1つに定まってしまうので…
  • 匿名回答4号
    匿名回答4号 2012/11/28 07:30:37
    1+√2ですか?
  • 匿名質問者
    匿名質問者 2012/11/28 19:43:29
    皆様、丁寧に教えて頂き大変ありがとうございました。

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  • 匿名質問の数学の問題を解いてみた。  匿名質問の数学の問題を敢えて、図形的性質を使わずに式だけで解いてみました。(^_^; ・BC=2、∠A=45度のとき、三角形ABCの面積の最大値はいくつか
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