三角形の個数(数学)について

まず始めに、一辺が1の正三角形を書きます。
正三角形の数は勿論1個です。
続いて、一辺が2の正三角形になるように一辺が1の正三角形を書きます
分かるひとは分かると思いますが、ゼルダの伝説等のトライフォースのような形です。
この時正三角形は一辺が1のが4個と一辺2のが1個で計5個になります。
このように一辺がxの正三角形を一辺が1の正三角形を使ってできた正三角形の数をyとしたとき、yをxを使った式で表せますでしょうか?

環境が安定していないので画像作成、添付ができません。
大変分かりにくいと思いますが、お願いします。

回答の条件
  • 1人50回まで
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  • 登録:2012/11/29 21:57:44
  • 終了:2012/11/30 17:09:14

ベストアンサー

id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4358ベストアンサー獲得回数3982012/11/30 06:46:40

ポイント40pt

 意見が割れたようなので。y=x^2に一票。(^_^;

    △     x=1 … y= 1
   △▽△    x=2 … y= 4
  △▽△▽△   x=3 … y= 9
 △▽△▽△▽△  x=4 … y=16
△▽△▽△▽△▽△ x=5 … y=25

 k段目の個数は、(2k-1)個だから、1段目からx段目までの総和yは、
y=¥sum_{k=1}^{x}(2k-1)=x^2

 こちらのことでしょうか。
※参考図

       ・
      ・・
     ・・・
    ・・・・
   ・・・・・
  ・・・・・・
 ・・・・・・・
・・・・・・・・

 三角形△の数S_1は、
(1+2+3+...+x)+(1+2+3+...+x-1)+...+(1+2)+1
¥sum_{i=1}^{x}¥sum_{j=1}^{i}j=¥sum_{i=1}^{x}¥frac{i(i+1)}{2}=¥frac{1}{6} x(x+1)(x+2)
 逆三角形▽の数S_2は、
(1)x=2k(偶数)のとき、
k=1のとき、1
k=2のとき、1+(1+2+3)
k=3のとき、1+(1+2+3)+(1+2+3+4+5)
k=nのとき、
¥sum_{i=1}^{n}¥sum_{j=1}^{2i-1}j=¥sum_{i=1}^{n}i(2i-1)=¥frac{1}{6}n(n+1)(4n-1)
n=x/2を代入して、
S_2=¥frac{1}{24}x(x+2)(2x-1)
このとき、
y=S_1+S_2=¥frac{1}{8} x(x+2)(2x+1)

(2)x=2k-1(奇数)のとき、S_2は、
k=1のとき、0
k=2のとき、(1+2)
k=3のとき、(1+2)+(1+2+3+4)
k=4のとき、(1+2)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5+6)
k=nのとき、
¥sum_{i=1}^{n-1}¥sum_{j=1}^{2i}j=¥sum_{i=1}^{n-1}i(2i+1)=¥frac{1}{6}(n-1)n(4n+1)
n=(x+1)/2を代入して、
S_2=¥frac{1}{24}(x-1)(x+1)(2x+3)
このとき、
y=S_1+S_2=¥frac{1}{8} (x+1)(2x^2+3x-1)

 以上をまとめると、
(1)xが偶数のとき、
y=¥frac{1}{8} x(x+2)(2x+1)
(2)xが奇数のとき、
y=¥frac{1}{8} x(x+2)(2x+1)-¥frac{1}{8}

 さらに、以上をまとめると、(^_^;
y=¥frac{1}{8} x(x+2)(2x+1) + ¥frac{(-1)^{x}-1}{16}

id:Tomoya530

大変丁寧なご回答ありがとうございます。
分かり易かったです。

2012/11/30 17:03:58

その他の回答(2件)

id:a-kuma3 No.1

a-kuma3回答回数4363ベストアンサー獲得回数18002012/11/29 22:36:16

ポイント30pt

一辺の長さが1増えるときには、それぞれの辺の外側に、ひとつ前と同じ三角形が付くのだから、一辺が1の正三角形の数は、ひとつ前の四倍になる。
つまり、公比が4の等比数列
等比数列の一般項は、
a_n=a_0 ¥hspace{2} r^{n-1} 

ここで、a_0=1r=4 なので、一辺が1の正三角形の数は、外側の辺の長さを n とおくと、
a_n=4^{n-1}

質問にある、x と y に置き換えると、
y=4^{x-1}
ということになるんじゃないかな。



【追記】

カンニングしちゃいました (^^ゞ
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/number2.htm

y=¥frac{1}{8}¥left( 2x^3+5x^2+2x+¥frac{(-1)^x-1}{2} ¥right)
なんだそうです。

rsc さんが追記された式と同じです。

他1件のコメントを見る
id:a-kuma3

カンニングしちゃいました (^^ゞ

2012/11/30 11:09:26
id:Tomoya530

URL添付ありがとうございます。
このページの情報はどれも面白そうなものばかりです!
ありがとうございました

2012/11/30 17:08:13
id:oil999 No.2

oil999回答回数1728ベストアンサー獲得回数3202012/11/29 22:37:13

ポイント30pt

一辺がxの正三角形と一辺が1の正三角形の面積比は辺の2乗に比例するので
x^2 : 1
となる。
両者は相似形であるので、面積比がそのまま数の比になる。

すなわち
y = x^2

id:Tomoya530

一辺1の正三角形の個数のみでだと、そんなスマートな出し方もできるのですね!
今後参考にしたいです。

2012/11/30 17:05:39
id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4358ベストアンサー獲得回数3982012/11/30 06:46:40ここでベストアンサー

ポイント40pt

 意見が割れたようなので。y=x^2に一票。(^_^;

    △     x=1 … y= 1
   △▽△    x=2 … y= 4
  △▽△▽△   x=3 … y= 9
 △▽△▽△▽△  x=4 … y=16
△▽△▽△▽△▽△ x=5 … y=25

 k段目の個数は、(2k-1)個だから、1段目からx段目までの総和yは、
y=¥sum_{k=1}^{x}(2k-1)=x^2

 こちらのことでしょうか。
※参考図

       ・
      ・・
     ・・・
    ・・・・
   ・・・・・
  ・・・・・・
 ・・・・・・・
・・・・・・・・

 三角形△の数S_1は、
(1+2+3+...+x)+(1+2+3+...+x-1)+...+(1+2)+1
¥sum_{i=1}^{x}¥sum_{j=1}^{i}j=¥sum_{i=1}^{x}¥frac{i(i+1)}{2}=¥frac{1}{6} x(x+1)(x+2)
 逆三角形▽の数S_2は、
(1)x=2k(偶数)のとき、
k=1のとき、1
k=2のとき、1+(1+2+3)
k=3のとき、1+(1+2+3)+(1+2+3+4+5)
k=nのとき、
¥sum_{i=1}^{n}¥sum_{j=1}^{2i-1}j=¥sum_{i=1}^{n}i(2i-1)=¥frac{1}{6}n(n+1)(4n-1)
n=x/2を代入して、
S_2=¥frac{1}{24}x(x+2)(2x-1)
このとき、
y=S_1+S_2=¥frac{1}{8} x(x+2)(2x+1)

(2)x=2k-1(奇数)のとき、S_2は、
k=1のとき、0
k=2のとき、(1+2)
k=3のとき、(1+2)+(1+2+3+4)
k=4のとき、(1+2)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5+6)
k=nのとき、
¥sum_{i=1}^{n-1}¥sum_{j=1}^{2i}j=¥sum_{i=1}^{n-1}i(2i+1)=¥frac{1}{6}(n-1)n(4n+1)
n=(x+1)/2を代入して、
S_2=¥frac{1}{24}(x-1)(x+1)(2x+3)
このとき、
y=S_1+S_2=¥frac{1}{8} (x+1)(2x^2+3x-1)

 以上をまとめると、
(1)xが偶数のとき、
y=¥frac{1}{8} x(x+2)(2x+1)
(2)xが奇数のとき、
y=¥frac{1}{8} x(x+2)(2x+1)-¥frac{1}{8}

 さらに、以上をまとめると、(^_^;
y=¥frac{1}{8} x(x+2)(2x+1) + ¥frac{(-1)^{x}-1}{16}

id:Tomoya530

大変丁寧なご回答ありがとうございます。
分かり易かったです。

2012/11/30 17:03:58
id:Tomoya530

質問者から

UTX2012/11/30 08:10:22

数えてみたところ、
x=3のときは
一辺が1の正三角形が9こ
2の正三角形が3こ
3の正三角形が1こ
y=13でした。
同じくx=4のときは
1が16こ
2が6と逆の正三角形1で7こ
3が3こ
4が1こ
y=27でした。

もし、逆の正三角形で数式を表すのが困難だったら逆のは考えなくてもよいです。

正三角形というのは一辺が1以外のものも含みます。
つまりx=2ならばy=5となります。

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