石油ストーブで、灯油を足すときに、いちいち切らなくてもよい（又は、自動的に切れてしまわない）石油ストーブはないでしょうか。

カートリッジタンクのある石油ストーブは、3年前に給油時の消化装置が義務付けられましたから、そういうのは現在は販売されていません。
http://www.fdma.go.jp/neuter/topics/yobou-gyousei/pdf/220521/siryou2-3-2.pdf

消防法に基づく火災原因調査と製品安全法令の整備による出火防止対策の強化
①石油ストーブ⇒
平成21年４月１日施行の改正消費生活用製品安全法施行令により、
不完全燃焼防止装置や給油時消火装置（カートリッジ給油式の場合）等の措置が義務付け。

こういうタイプのストーブなら消さなくても大丈夫ですが、
給油時は消化したほうが安全です。
●トヨトミ
http://www.store-mix.com/ko-bai/product.php?pid=856265

●コロナ
http://www.amazon.co.jp/dp/B008SLEQXU

●アラジン
http://item.rakuten.co.jp/yuasa-p/4962365010239/

平成21年4月1日から石油ストーブが消費生活用製品安全法の特定製品に指定され、給油時自動消火装置の無いものは平成23年4月1日から販売できなくなっています。
http://www.nite.go.jp/jiko/press/prs09121602.pdf

ご質問のような石油ストーブを合法的に購入することはできません。
したがって、下記のような消火時に灯油臭のしない製品を購入してはどうでしょうか。

TOYOTOMI 石油ストーブ 【手回し発電で点火! 電池不要! 】 石油ストーブ 「コンクリート11畳~木造8畳」 日本製 ホワイト RS-G30C(W)

• 出版社/メーカー: TOYOTOMI
• 発売日: 2012/09/01
• メディア: ホーム&キッチン
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消臭リングが燃焼中の臭いを軽減。
においを抑えるニオイセーブ消火。

現在そのような石油ストーブは、販売していませんよ

理由は、危険だからです。

そのへんのお店にいけば普通に売っているものではないでしょうか？

ほかのひとがおっしゃるとおり危険なのでありません。