線形数学や物理学に心得のある方にご教授願います。

 R=b1+b2+…+bN
  =(a1-a0)+(a2-a1)+…+(aN-aN-1)
(なおR、a、bはベクトルであり、直後の数字およびNは添え番号)
の大きさについて、その平均<R^2>の導出過程をお示しくださいますようお願いします。
答えは恐らくN*b^2であり、私なりにその導出の見当もつけてみたのですが、いまいち確証が持てないので、このように質問させていただきます。
回答の形式は画像などでも構いません。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2012/12/25 00:15:27
  • 終了:2012/12/27 02:48:53

回答(1件)

id:oil999 No.1

oil999回答回数1728ベストアンサー獲得回数3202012/12/25 09:48:32

R^2が内積だという前提で回答します。

R=(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+...+(a_n-a_{n-1})
=a_n-a_0

ゆえに
R^2=(a_n-a_0)^2={a_n}^2-2a_na_0+{a_0}^2

id:mizuchin

<R^2>はR^2の大きさの平均を意味します。質問文が不十分で失礼いたしました。

2012/12/25 20:53:15
id:mizuchin

質問文を編集しました。詳細はこちら

id:mizuchin

追記1:本文の説明が不十分だったので、質問文を訂正した上、コメントでの質問に関してこちらに記させていただきます。
>vector_a[k] 及び vector_a[k-1] が vector_b[k] の終点及び始点を
示す位置ベクトルである、ということですか?
その通りです。したがって
>vector_R は vector_b[1] の始点を始点とし
>vector_b[N] の終点を終点とするベクトルである
ということになり、さらに
>R = … = a[N]-a[0]
となります。また、
>この表現に含まれている 添え番号の無いb
についてですが、
>全てのvector_b[k]は長さが b で等しい
ということになります。
>最終的な答えには vector_a[k] を含めることができない問題でしょうか。
とのことですが、この問題にはRの大きさの平均<R>が0となることが前提として提示されており、この問題を解くにあたってベクトルa群は必ずしも必要ではないかもしれません。
追記2:課題の提出期限日となりましたので、質問を締め切らせていただきます。ご協力に感謝するとともに、期待すべき方向性を示せなかったことを申し訳なく思います。

  • id:Silvanus
    ご質問の文章の内容だけではきっと解けないと思います。
    以下の様な疑問があります。何か条件が欠けているではないですか?
    -----
    vector_b[k] = vector_a[k] - vector_a[k-1]
    と思われる様な記述になっていますが、これは
    vector_a[k] 及び vector_a[k-1] が vector_b[k] の終点及び始点を
    示す位置ベクトルである、ということですか?
    だとすれば vector_b[k+1] の始点は vector_b[k] の終点に一致する、
    つまり、vector_R は vector_b[1] の始点を始点とし
    vector_b[N] の終点を終点とするベクトルである、ということでしょうか?
    貴方が推測されている最終的な答え「< vector_R, vector_R > = N x b^2」を
    拝見しますと、スカラーの b が登場していますが、これは
    全てのvector_b[k]は長さが b で等しいことを示しているのでしょうか。
    最終的な答えには vector_a[k] を含めることができない問題でしょうか。
  • id:Silvanus
    追加の説明有り難うございます。
    ただ、まだ疑問が残っておりまして、
    > Rの大きさの平均<R>が0となることが前提
    とありますが、これが「vector_R の長さの平均が 0」となるという意味であれば
    「vector_R は常に零ベクトル」と同義だと思います。
    ベクトルの長さは零以上の値しか取り得ないと思いますので
    平均が零ならば即ち常に零ではないかと。私がきっと
    何か勘違いしているのでしょうけど…orz。いかがでしょうか?
    それと「Rの大きさの平均」を「<R>」とする、ということはつまり、一般的に
    「<X>」=「(一定の条件で変化し得る)vector_Xの長さの平均」
    ということですよね?しかしながら、最終的に答えなければならないものは
    「<R^2>」となっています。これは「{<R>}^2」ではないのですよね?
    そうであれば「<R>=0」から常に零であることは明らかな訳ですし。
    とすると「R^2」とは何なのでしょうか?内積や外積ではないんですよね?
    ベクトルなのかスカラーなのか。
    「<X>」の定義からするとベクトルでなければならない様な気がしますし…。
  • id:ita
    こういうことですね。
    ランダムな方向に距離b進む「酔歩」を繰り返しN歩したときの位置がR。
    Rの平均は対象性から<R>=0 で明らか。
    <R^2>=<b1^2>+<b2^2>+... +2<b1.b2>+2<b1.b3>+...
    =N b^2

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