①電子が水素原子核から半径rの距離にあるときの位置エネルギーのEpを計算せよ。

たぶんこれでいいと思います。

クーロンの法則より、電荷Qからの距離rの位置から無限遠へ電荷qを移動させるのに必要な仕事は、

• ∫(∞→r)qQ/(4πε_0R^2)dR

となります。原子核の電荷QはQ=+e、電子の電荷qはq=-eとなるので、計算すると
∫(∞→r)-e^2/(4πε_0R^2)dR
=0+e^2/(2πε_0r)
=e^2/(2πε_0r)
となりこれが電子のポテンシャルエネルギーとなります。

全エネルギーを求めるには運動エネルギーを求める必要があり、これには速さvが必要です。
一般的な（等速）回転運動のとき、向心力の大きさは、
mv^2/r
で与えられます。電子が原子核の周囲を公転する場合は向心力はクーロン力となるので、

• e^2/(4πε_0r^2)=mv^2/r

v^2=-e^2/(4πε_0rm)
と変形できる。運動エネルギーは1/2mv^2で与えられるので、E_kは、
E_k=1/2mv^2
=-e^2/(8πε_0rm^2)
となります。この式のrに条件式を代入すれば運動エネルギーをnで表すことができます。
同様に、位置エネルギーにもrの条件式を代入し、運動エネルギーとの和をとると目的の全エネルギーをnの式で表現できます。


間違えてたらすみません。