【数学】解答解説お願いいたします【緊急】

関数f(x)=x^3-3x^2に関して、次の問いに答えよ。

(1)y=f(x)のグラフ上の点(f, f(t))における接線の傾きが正となるようなtの範囲を求めよ。
(2)g(x)=∫[x, 0]|f'(x)|dt を求めよ。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2013/02/17 20:14:58
  • 終了:2013/02/17 21:24:26

ベストアンサー

id:matryosika No.1

matryosika回答回数36ベストアンサー獲得回数142013/02/17 20:57:52

(1)について
接線の傾きは微分と同義です。微分して得られる導関数はもとの関数の接線の傾きの変化を表す関数となります。よって、導関数をもとめてその値が正になる領域が、元の関数の傾きが正になる領域であると言えます。

(2)について
x>0として話を進めていきます。(x<0でも同じなのですが)まず、最初に行うべきはy=x^3-3x^2のグラフを書くということです。問題の積分には絶対値がついていて、面積が負になる領域(x軸よりも低いところ)の処理が重要です。なので、最初に、グラフを書いて負の面積の領域を見つけておきましょう。これによって、面積が正である区間と負である区間で場合分けができるようになり、区分ごとに積分を行うことができます。面積が正になる区間は普通に積分しても構いませんが、負になる区間は積分中の絶対値の存在によって、関数にマイナスを付けて積分します。あとは、これらを足し合わせればOK。区間分けして積分したので答えは場合分けの形になっていると思います。

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id:matryosika No.1

matryosika回答回数36ベストアンサー獲得回数142013/02/17 20:57:52ここでベストアンサー

(1)について
接線の傾きは微分と同義です。微分して得られる導関数はもとの関数の接線の傾きの変化を表す関数となります。よって、導関数をもとめてその値が正になる領域が、元の関数の傾きが正になる領域であると言えます。

(2)について
x>0として話を進めていきます。(x<0でも同じなのですが)まず、最初に行うべきはy=x^3-3x^2のグラフを書くということです。問題の積分には絶対値がついていて、面積が負になる領域(x軸よりも低いところ)の処理が重要です。なので、最初に、グラフを書いて負の面積の領域を見つけておきましょう。これによって、面積が正である区間と負である区間で場合分けができるようになり、区分ごとに積分を行うことができます。面積が正になる区間は普通に積分しても構いませんが、負になる区間は積分中の絶対値の存在によって、関数にマイナスを付けて積分します。あとは、これらを足し合わせればOK。区間分けして積分したので答えは場合分けの形になっていると思います。

id:localdress

あ、見辛くて済みません。絶対値の中身はf'(x)、つまり導関数なので、最初に行うべきはy=3x^2-6xのグラフを書く、ということでよろしいでしょうか。

  • id:matryosika
    プライムを見逃してました(笑)

    そのとおりです。より一般的には絶対値の中の関数のグラフを書いてみることが先決となります。
  • id:localdress
    ありがとうございます。実はこれ某私大の今年度の数学の問題なのですが、予備校がいつまで経っても解答例を公表しないので非常に困っていたのです。ありがとうございました。

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