同じ会社の違う部署が作成した社内研修用の問題を転用して、別の社内研修用に

会社独自の著作権規定があるのであれば、それに従わなければならないと思いますが、通常は職務で作成した著作物の著作権は会社にあります。
（職務著作・著作権法第15条）

著作権法

（職務上作成する著作物の著作者）
第15条　法人その他使用者（以下この条において「法人等」という。）の発意に基づきその法人等の業務に従事する者が職務上作成する著作物（プログラムの著作物を除く。）で、その法人等が自己の著作の名義の下に公表するものの著作者は、その作成の時における契約、勤務規則その他に別段の定めがない限り、その法人等とする。

２　法人等の発意に基づきその法人等の業務に従事する者が職務上作成するプログラムの著作物の著作者は、その作成の時における契約、勤務規則その他に別段の定めがない限り、その法人等とする。

著作権法の考えに基づけば、会社の著作物を会社内で転用するのに法的な許可は必要ありませんが、作成元の部署の許諾を得るのは、社内でのルール上必要な事だと思います。


質問と同じ様なケースについて解説しているサイトがありますのでご一読下さい。

第6回　社員のモノは会社のモノ？　－「職務著作」という考え方・ネットだから気をつけたい！ 著作権の基礎知識（株式会社技術評論社）

職務著作になりますので会社内であれば問題ないでしょう。

http://gihyo.jp/design/serial/01/copyright/0006
http://www.tokkyo.ne.jp/shokumu.php

社内規定によります。

一般的には、業務目的で作成した書類の知的財産刑は法人格である会社に所属するので、部署が違っても著作権を侵したことにはならないでしょう。

それより注意する必要があるのが、その社内研修用の問題が部外秘でないかということです。
その部のために作成された研修用問題で、他部署で使ってはいけない「部外秘」であるならば、無断で使うことは懲戒処分の対象となります。
http://www.amy.hi-ho.ne.jp/kido/jyuuyo.htm

常識的な対応として、問題を作成した部署の担当者にひと言断りを入れるべきでしょう。