猫が歩く歩道をアパート6畳の部屋の上部に作りたい。

このようなイメージでしょうか。

一番手軽な方法は、やはり棚受金具を使用して棚を作る方法だと思います。
強度については、壁の下地(裏側に木が入っています)に合わせて金具を取り付けて棚を固定しますが、
数を増やせば落ちてくることは無いと思います。

TRUSCO ステンレス棚受 250X200mm TKLT200

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単管(建設現場などで使う足場を作る素材)で作る方法もありますが、大掛かりになります。

壁の材質が関係します。
最近多いのは石膏ボードの壁です。
これは薄いブリキでできた骨組みにネジで固定されています。
軽天って言うんですけどね。

http://www.h6.dion.ne.jp/~matsuo22/keitetukoujitowa.htm


http://www.nssmc.com/product/superdyma/processing/10-1.html/

二番目のサイトにあるような金具が壁や天井の裏側に入っているわけです。
つまり、Ｌ字型の金具で金具自体の強度は充分なんですが、固定した場所に柱が無ければ永年月の間に少しずつ抜けてきます。
６畳の長辺で金具が四つもあれば充分ですが、軽天の骨のある場所に固定して下さい。
１ｃｍくらいの石膏ボードの裏側まで細い針を突き刺して骨の位置を確かめる器具が販売されています。

タジマ パーフェクト下地キャッチ PW-SC

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それと、自宅なら問題ありませんが、借家の場合は退去する時の修理費用が高くつく。
たぶん傷つけた部分の壁の貼り替え費用を請求されるでしょう。

壁に釘が打てないからどうしようというお話ですよね。
そこでつっぱり棒ですよ。
http://blog.livedoor.jp/neko_chin/archives/5429003.html
http://www.mlab.ne.jp/life/news_life/news_life_20120711/
http://blogs.yahoo.co.jp/yumeandyuzu/60792200.html

上下運動といっても、高すぎては危険が増すという話があるそうです。
第15回 猫を室内で安全に遊ばせるために｜金巻先生の「わんだふるな住まいの知識」│犬家猫館 ドットコム│東リ株式会社

あとは、板の幅もあります。6畳の四方にキャットウォークを作れば、生活する上で支障が出てくると思います。
それよりも、
日の光や、照明に気を遣う
本当に少し歩く程度の散歩へ、たまに連れて行く
その方が良いんじゃ無いかなあ、と思います。