1372073867 図形ABCを点Cを中心に線分ABが水平になるまで回転させます。線分AD間の距離を変数としたとき、線分AE間の距離は数式でどのように表せますか?

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  • 13歳以上
  • 登録:2013/06/24 20:37:47
  • 終了:2013/06/26 23:31:30
id:witt

質問者から

witt2013/06/25 07:55:49

本問題は、フライス盤による機械加工の経験のある方なら、わかると思うのですが、
バイスの芯出し(平行出し)をモデル化したものです。

http://www.tc-hama.ac.jp/modules/d3blog/details.php?bid=344
>バイスの芯出し
>フライス盤のテーブルを左右に動かしたときに、バイスの固定口金が
>平行となるようにダイヤルゲージを用いてバイスの芯出しを行う。

距離DB:テーブルの移動量
距離AD:テーブルを動かしたときのダイヤルゲージの針の触れ
距離AE:バイスを平行にするためにダイヤルゲージを見ながらバイスを動かす距離
距離BCや角度Bはバイスの形状によりますし、回した角度はわかりません。

現状、多くの作業者は感覚でこの作業を行なっています。
理論化できるのであれば、彼らやそしてこれからの入門者の助けになりますので、
みなさんのお知恵をいただきたいと思います。

ベストアンサー

id:holoholobird No.1

holoholobird回答回数574ベストアンサー獲得回数1042013/06/26 17:51:09

ポイント500pt

書いた文章のどこかがはてな記法に引っかかったみたいなので、
申し訳ありませんが、回答をプログラムコードの引用記号で囲みます。

BC=a、AB=bとします。(a,bは長さ)
Cを通り、A',B'に平行な線分Lを考えます。
LとB'Cのなす角の内、鋭角をt、
LとB'Cのなす角の内、鋭角をt+uとします。
つまり図形を回転させた角度をuです。
線分Lに対してB'を通る垂線とLの交点をM'、同様にBとLの交点をMとします。

このとき、
AD=ABcos(<ABD)=ABcos(u)=b*cos(u)=x ……①
DE=BM-B'M'=BCtan(u+t)-B'Ctan(u)=a*(tan(u+t)-tan(u)) ……②

①より
1+tan^2(u)=1/cos^2(u)=(b/x)^2
より、
tan(u)=√((b/x)^2-1)

②の()内より、
tan(u+t)-tan(u)
=(tan(u)+tan(t))/(1-tan(u)tan(t))-tan(u)
=tan(t)(1+tan(u))/(1-tan(t)tan(u))
=tan(t)(1+√((b/x)^2-1))/(1-tan(t)√((b/x)^2-1))
従って、
DE=BM-B'M'=BCtan(u+t)-B'Ctan(u)=a*(tan(u+t)-tan(u))
=a*tan(t)(1+√((b/x)^2-1))/(1-tan(t)√((b/x)^2-1))

よって、
AE=AD+DE=x+a*tan(t)(1+√((b/x)^2-1))/(1-tan(t)√((b/x)^2-1))

なお、BC=a、AB=bかつ、角ABC=θ=(π-t)なので、これを代入すると、
tanθ=-tan(t)より、
AE=x-a*tanθ(1+√((b/x)^2-1))/(1+tanθ√((b/x)^2-1))

=x-BC*tanθ(1+√((AB/x)^2-1))/(1+tanθ√((AB/x)^2-1)) 
(↑これが答えです。θは角ABCです。)

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id:holoholobird

恐らく、

AE
=x+a*((x/b)*cos(t)+(√(b^2-x^2)/b-1)*sin(t))
=x+BC*((x/AB)*cos(π-θ)+(√(AB^2-x^2)/AB-1)*sin(π-θ))
=x+BC*(-(x/AB)*cosθ+(√(AB^2-x^2)/AB-1)*sinθ)

となります。(θ=角ABCです)

2013/06/26 22:26:33
id:witt

失礼しました。DEを求めて安心しきって忘れていました。
最終目的は、AEを求めることでしたね。

ご回答いただいたもので、正解だと思います。
おかげで、すっきりしました。ありがとうございます。

2013/06/26 23:31:11

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id:holoholobird No.1

holoholobird回答回数574ベストアンサー獲得回数1042013/06/26 17:51:09ここでベストアンサー

ポイント500pt

書いた文章のどこかがはてな記法に引っかかったみたいなので、
申し訳ありませんが、回答をプログラムコードの引用記号で囲みます。

BC=a、AB=bとします。(a,bは長さ)
Cを通り、A',B'に平行な線分Lを考えます。
LとB'Cのなす角の内、鋭角をt、
LとB'Cのなす角の内、鋭角をt+uとします。
つまり図形を回転させた角度をuです。
線分Lに対してB'を通る垂線とLの交点をM'、同様にBとLの交点をMとします。

このとき、
AD=ABcos(<ABD)=ABcos(u)=b*cos(u)=x ……①
DE=BM-B'M'=BCtan(u+t)-B'Ctan(u)=a*(tan(u+t)-tan(u)) ……②

①より
1+tan^2(u)=1/cos^2(u)=(b/x)^2
より、
tan(u)=√((b/x)^2-1)

②の()内より、
tan(u+t)-tan(u)
=(tan(u)+tan(t))/(1-tan(u)tan(t))-tan(u)
=tan(t)(1+tan(u))/(1-tan(t)tan(u))
=tan(t)(1+√((b/x)^2-1))/(1-tan(t)√((b/x)^2-1))
従って、
DE=BM-B'M'=BCtan(u+t)-B'Ctan(u)=a*(tan(u+t)-tan(u))
=a*tan(t)(1+√((b/x)^2-1))/(1-tan(t)√((b/x)^2-1))

よって、
AE=AD+DE=x+a*tan(t)(1+√((b/x)^2-1))/(1-tan(t)√((b/x)^2-1))

なお、BC=a、AB=bかつ、角ABC=θ=(π-t)なので、これを代入すると、
tanθ=-tan(t)より、
AE=x-a*tanθ(1+√((b/x)^2-1))/(1+tanθ√((b/x)^2-1))

=x-BC*tanθ(1+√((AB/x)^2-1))/(1+tanθ√((AB/x)^2-1)) 
(↑これが答えです。θは角ABCです。)

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id:holoholobird

恐らく、

AE
=x+a*((x/b)*cos(t)+(√(b^2-x^2)/b-1)*sin(t))
=x+BC*((x/AB)*cos(π-θ)+(√(AB^2-x^2)/AB-1)*sin(π-θ))
=x+BC*(-(x/AB)*cosθ+(√(AB^2-x^2)/AB-1)*sinθ)

となります。(θ=角ABCです)

2013/06/26 22:26:33
id:witt

失礼しました。DEを求めて安心しきって忘れていました。
最終目的は、AEを求めることでしたね。

ご回答いただいたもので、正解だと思います。
おかげで、すっきりしました。ありがとうございます。

2013/06/26 23:31:11
  • id:taddy_frog
    ACの二乗=ABの二乗+BCの二乗−2×AB×AC×cosB
    sin(90度-回した角度)×AC=AE


    ADの値を変数とした場合の数式は知らなくてすみません。
  • id:witt
    コメントありがとうございました。
    頂いたコメントは、答えそのものでなくても、答えを求めるためのヒントになりますので、ありがたいです。

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