画像をご覧ください。パソコンを起動すると、このような画面が出ました。

まずF1でBIOS設定に移行して
HDDが認識されているか調べます。

こんな感じのメニューでしょう。
http://www.geocities.jp/drkadokado/PCpage/BIOS5.html
HDDが認識されなければ
接触不良かどうかを調べるとか
他の動作しているHDDを付けてみて
HDDが認識されるかなどの手順になるでしょう。

設定が失われただけの場合は標準設定を読み出すと
改善する可能性がありますが。
問題のPCが標準の設定で大丈夫かは分からないでしょう。
だから標準設定を読み直すというので解決するか分からないでしょう。

標準設定を読み直して問題が見かけ上直っても
BIOS設定が必要な設定になっているか確認する必要があります。

ハードディスクの交換をしなければいけないかもしれませんが、、

とかいてらっしゃるので、止まっている原因がＳＭＡＲＴ機能によるＨＤＤ故障警告であることは理解されていると思います。

この画面を表示させないようにしたいです。

この画面でＦ２を押せば起動します。が、次の電源起動時にこの画面そのものを表示させずにそのまま起動させたいということですよね？

ここで「Ｆ１」キーを押すと、ＢＩＯＳが起動すると考えていいでしょうか？

はいＢＩＯＳが起動します。
そこからＢＩＯＳよりＳＭＡＲＴ機能を無効にする設定メニューで変更します。
（ただ、ＢＩＯＳはいろんなバージョンがあるので、対応するメニューがない場合もあります。）

http://www.disign-store.com/file/manual/I771_motherboard_7.pdf
に設定メニューのサンプルがあります。
S.M.A.R.T設定を「disable」にすれば無効化されます。