【定理の名称とか証明とか】

n,mをともに正整数とするとき、2^n-3^m=±1となるのは、
(n,m)=(2,1),(1,1),(3,2)に限るという定理について、

(1)この定理に名称があれば、教えて下さい。
(2)この定理の証明か、証明法を記したページや文献があれば紹介してください。

※一応自分で証明してみて質問したのですが、万が一これが定理でないことが知られているのでしたら、可能なら充分大きな(n,m)について、反例を教えて下さい。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2013/07/28 14:47:29
  • 終了:2013/08/01 22:42:08

回答(3件)

id:kaji0120 No.1

kaji0120回答回数59ベストアンサー獲得回数132013/07/28 16:47:09

ポイント50pt

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1065912980
modを使うのが一般的なようですね。

id:kuro-yo

ありがとうございます。

2013/08/01 22:41:02
id:holoholobird No.2

holoholobird回答回数574ベストアンサー獲得回数1042013/07/28 22:02:16

ポイント50pt

コメントのようなロシア語でなくても、ここにあったです。
http://balm.web.fc2.com/math87.html

2^n-3^m=±1が成立するような自然数n,mの組を全て求めよ。(tokoharu_sakura様)

@方針
整数問題。答えは見えますが、他に答えが無いことを示さないと当たり前ですが点はありません。答え出すだけだら小学生でも出来るわ。
整数問題は絞り込めば勝ちです。絞り込むのにmodはかなり有効だと個人的には思っています。今回もmodを使用することになります。

@解答
mが奇数のとき、3^m≡3(mod8)
mが偶数のとき、3^m≡1(mod8)
n≧3のとき、2^n≡0(mod8)であるから、mが偶数であることが必要。
このとき、2^n=3^m-1であり、m=2pとおけるので
2^n=(3^p+1)(3^p-1)
よって、3^p+1=2^a、3^p-1=2^bとおける。(a>b≧0.a,bは整数)
ここで、2^a-2^b=2^b(2^(a-b)-1)=2であるから、a=2、b=1.よって、p=1
このとき、m=2、n=3.
また、n=2のときm=1.n=1のときm=1が題意を満たす。

以上より、(m,n)=(1,1),(1,2),(2,3)

id:kuro-yo

ありがとうございます。

2013/08/01 22:41:15
id:gizmo5 No.3

gizmo5回答回数484ベストアンサー獲得回数1382013/07/29 11:17:54

ポイント50pt

合同式を使わないで解いているページがありましたので、ご紹介します。
http://ddincrement.blog.shinobi.jp/tokoharu_sakura/3

2^(2k)-1 = 3^m より (2^k+1)(2^k-1) = 3^m
したがって 2^k+1 と 2^k-1 はどちらも 3 の累乗である。

ここの部分で「3が素因数だから」という説明があれば大学受験をする高校生なら理解できる内容だと思います。
解法を思いつくことは難しいと思いますがw

id:kuro-yo

ありがとうございます。

2013/08/01 22:41:24
  • id:holoholobird
    http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=740
  • id:Lhankor_Mhy
    カタラン予想に似てますね。
    >http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%83%A9%E3%83%B3%E4%BA%88%E6%83%B3:title>
    カタラン予想( -よそう)とは、1844年にベルギー人の数学者・Eugène Charles Catalanが提唱した予想である。2002年にプレダ・ミハイレスクによりその完全な証明が行われた[1]。2005年に、自身で証明を簡単化した[2]。
    <<
  • id:kuro-yo
    >カタラン予想に似てますね。

    あうっ、僕が読んだ論文の中ではまだ未解決問題とされてましたが、すでに解決済みなんですね。
  • id:rsc96074
     Rubyでちょっと反例を探してみましたが、1≦n,m≦3000まで、反例は見つかりませんでした。(^_^;
  • id:kuro-yo
    私も剰余を使って証明しましたが、回答・紹介していただいたものはどれも自分のよりシンプルでした(悔しい)。
    練習問題的な、わりとありふれた問題のようで、特に決まった名称はなさそうなので、ここで終了します。

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