業務でアンケートの記入を頼まれました。会社名と氏名の所にゴム印を押したら上司に、自筆で書くものだと言われました。世の中の常識はアンケートにゴム印は押さないのでしょうか？

直筆で少し崩して書きますねぇ。

ハンコ使うと「そんなアンケートは知りません」が通じなくなっちゃいますからw

アンケート依頼先と記入者（貴社）との関係から、ゴム印or自筆は記入者の判断しだいでしょう。上司の方が、貴社の名称、所在地、記入者をゴム印にするのは、相手（依頼者）に失礼だとか、会社（貴社）の品位を落とすとお考えならば自筆にすべきでしょうね。ただ、自筆にすると読みにくい箇所がでて、相手が判読に困る事はありますが。
当然、ゴム印でも不鮮明や歪んだものは論外ですが。本来アンケートの主目的は項目に正しく答え貰い、集計し傾向をしる事であり、貴社名や記入者の役職・氏名は情報としない事が多いのですよ。アンケートに答えた事により名だしでセールスするのは禁じ手です（コンタクトを望むの項目にチェックをすればべつですが）。

もの凄くどうでもいい話だ。
もし違う上司の下で自筆で書いたら「はんこで押すものだ」とか言うこともあろう。
日本文化でははんこの方が信用度が高い。
頭のおかしい上司には適当に付き合うとよい。