1377675707 弟の数学の宿題を手伝っているのですが、どうやって答えを導いたらよいか非常に苦戦しています。ちなみに「一次関数」の応用問題です。答えの導き方がわかる方、どうか助けてください! お願いします!!


上図のように、x座標とy座標がともに整数である25個の点に、黒と白のしるしをつけ、これらの点をそれぞれ黒点、白点とよぶことにする。いま黒点P(a,b)からbだけ右に進み、aだけ下に進んだ点をQとし、2点P、Qを通る直線PQをひくものとする。次の問いに答えなさい。

(問)ある黒点Pをもとにしてひいた直線PQ上に、白点(1,5)がある。この黒点Pの座標を求めよ。


答えはP(3,2)だそうです。

どうやって答えを導いたらよいか教えていただけたら嬉しいです。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2013/08/28 16:41:47
  • 終了:2013/09/04 16:45:04

回答(3件)

id:NAPORIN No.1

なぽりん回答回数4685ベストアンサー獲得回数8572013/08/28 21:19:20

Qの座標をもとめる Q(a+b,b-a) 

Pは黒点であるため、a,bは図からみて、1以上、5以下です。
PQの傾きを求める( Q-P=b,-aなので傾きは-a/bとなるが)までもなく題意から直線グラフは右下がりグラフです。
 
さて、図の1.5は白点ですが、そこから右下がりにすすんでいくとどこかで黒点Pにつきあたるはずです。真横とか真下にあるのがPだとすると、傾きがゼロや無限大になってしまいおかしいので、aは1ではないし、bは5ではありません。
aは2~5のどれか。bは1~4のどれかです。
あとは残る8個を総当たりで三角定規をあててやっていくしかないかとおもいます(一次関数のグラフをみるとそうなります)
そうすると白点とP(候補)をつないで右に伸ばしたらQ(原点からPへの線分を90度おりまげたとこにある)にうまくのっかるようなP.Qのくみあわせは回答の座標しかないとわかります。


えーっと一次関数ですが二次関数の解法を最初に考えたので書いておきますね。

PQの傾きを求める Q-P=b,-aなので傾きは-a/bとなり、y=-(a/b)x+α(切片をαとおいた)
白点1,5の座標を代入して切片をabであらわすと 5=-(a/b)×1+αですからα=5+a/bです
直線の式がもとまりましたy=-(a/b)x+5+a/b、a/bでくくるとy=(a/b)×(1-x)+5です。

さて、こいつがQをも通ってます。代入するとb-a=a/b×(1-a-b)+5
b=a+a/b-a^2/b-a+5、
(5-b)b=a^2-a
aは2~5、bは1~4でこれをみたす数で、しかもpが黒点であることから足して偶数になる組み合わせは…
やっぱり力業だし定規のほうがわかりやすい!!

id:takejin

二次関数の解法で、式を満たすabの組み合わせを探す。が、王道です。
12個しか有りません。

2013/08/28 21:27:06
id:NAPORIN

問題文でいちじ!!っていわれてるんで

2013/08/28 21:28:36
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4391ベストアンサー獲得回数4022013/08/28 23:42:42

 点P(a,b)とすると、点Qは、(a+b,b-a)と書ける。
よって、直線PQは、
 (a+b-a)(y-b)=(b-a-b)(x-a)
∴ax+by=a^2+b^2
 これが、点(1,5)を通るので、
 a+5b=a^2+b^2…①
 点P(a,b)は黒丸なので、(a,b)の候補は次の通り。
 (1,2),(1,4),
 (2,1),(2,3),(2,5),
 (3,2),(3,4),
 (4,1),(4,2),(4,3),
 (5,2),(5,4)
 後は、1つずつ代入して①が成り立つか調べてみましょう。

 ちなみに、計算は面倒になりますが、a+b=2k+1(ただし、k=1,2,3,4)として、これと①から、aを消去して得られるbの2次方程式の判別式が平方数になるか調べると、数学の解答としては、もう少しかっこよくなります。計算練習と思ってやってみましょう。(^_^;

id:Sampo No.3

Sampo回答回数556ベストアンサー獲得回数1042013/08/29 00:59:02

この問題、一次関数のグラフの性質と円周角の定理を使って解く問題じゃないかと思いますが、弟さんはもう円周角の定理、特に【直径に対する円周角は直角、逆もまた真】というやつはもう習っているでしょうかね。

直線OP(傾きb/a)と直線PQ(傾き-a/b)は直角をなします。
白点をWと呼ぶことにすると、線分PWはPQに乗っていますから、OP⊥PWです。ということは、円周角の定理より、OWを直径とする円上にPはあります。

OWの中点(0.5, 2.5)を中心に円を描いてみれば、その上にある黒点は(3,2)だけです。

これは面白い問題ですね!!!

id:Lhankor_Mhy

円の方程式
(x-0.5)^2+(y-2.5)^2=26/4
を展開したら
x^2-x+y^2-5y=0
という式になって変な声が出たw
 
a,bの二次式を作ること=その円を立式すること、だったんですね。いやはや。

2013/08/29 13:36:17

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