どなたかこの問題の論理的な解き方を教えてください。(中学1年生の数学の問題です。)


下の図の三角すいでは、各辺の上の3つの数の和がいつも等しい。-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5の中から10個の数を使って、1辺の和がすべて等しくなるように○を求めなさい。

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  • 登録:2013/09/27 11:59:42
  • 終了:2013/10/04 12:00:07

ベストアンサー

id:Lhankor_Mhy No.1

Lhankor_Mhy回答回数779ベストアンサー獲得回数2302013/09/27 14:23:13

 うわなにこれ難しい。しかも解がたくさんある様子。
 
 
 
 4つの頂点にある数字の合計をc、6つの辺にある数字の合計をs、使わない数をx、とすると、
c+s+x=0 (1)
 各辺の和をnとすると、
6n=3c+s (2)
 (2)に(1)を代入すると、
6n=2c-x (3)
 左辺は偶数であるから、xは偶数である。
 x=2m(mは{2,1,0,-1,-2})と置くと、
n=(c-m)/3 (4)
 となるので、偶数の中から使わない数を選び、使わない数の半分を引いた時に3の倍数となるように頂点の数字の合計を選ぶ必要がある。
 
 仮に4を使わない数として頂点a,b,c,dに5,3,2,1を選ぶと、(4)から各辺の和は3であるから、各辺ab,ac,ad,bc,bd,cdは-5,-4,-3,-2,-1,0となる。
 
 
 
 最後はやっぱり試行錯誤ですねえ。あとは次の回答者に任せます。たぶん、x=0はダメな予感。

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id:Lhankor_Mhy

n=(c-m)/3 (4)
 nは整数ですから、(4)によりc-mは3で割り切れなくてはいけない、つまり3の倍数です。
 ですから、使わない数xを偶数の中から選び、頂点abcdの数字を選んだ時に(a+b+c+d)+x/2が3の倍数でない場合は、魔方陣が完成しない、ということです。
 
 で。
 仮に使わない数を4とした時に、数字が大きい順から5,3,2,1と選ぶとなんと、(5+3+2+1)-4/2=9と3の倍数になるではありませんか。ラッキーですね。この場合、9/3=3ですから各辺の和は3になるはずです。そこでabは3-(5+3)=-5、acは3-(5+2)=-4、adは3-(5+1)=-3、bcは3-(3+2)=-2、bdは3-(3+1)=-1、cdは3-(2+1)=0でした。これまたラッキーなことに数字がかぶりませんでしたね。これが解の一つになるはずです。
 先程の条件だけでは、魔方陣が完成する頂点の選び方である、とは限らないため試行錯誤する必要があります。ただ、頂点4つを決めれば辺の数字が一意に決まるだけ、むやみに数字を当てはめていくよりはマシになりましたね。他の条件の証明については次の回答者に任せますが、感覚としてx=0の時に解がないように思えていますので、その辺がヒントになるかもしれませんね。
 
 
 
 ということを書いていました。

2013/09/27 18:34:50
id:ishiikatsunori9

丁寧な解説、誠にありがとうございました。

今後ともよろしくお願いいたします。

2013/10/04 23:16:27

その他の回答(1件)

id:Lhankor_Mhy No.1

Lhankor_Mhy回答回数779ベストアンサー獲得回数2302013/09/27 14:23:13ここでベストアンサー

 うわなにこれ難しい。しかも解がたくさんある様子。
 
 
 
 4つの頂点にある数字の合計をc、6つの辺にある数字の合計をs、使わない数をx、とすると、
c+s+x=0 (1)
 各辺の和をnとすると、
6n=3c+s (2)
 (2)に(1)を代入すると、
6n=2c-x (3)
 左辺は偶数であるから、xは偶数である。
 x=2m(mは{2,1,0,-1,-2})と置くと、
n=(c-m)/3 (4)
 となるので、偶数の中から使わない数を選び、使わない数の半分を引いた時に3の倍数となるように頂点の数字の合計を選ぶ必要がある。
 
 仮に4を使わない数として頂点a,b,c,dに5,3,2,1を選ぶと、(4)から各辺の和は3であるから、各辺ab,ac,ad,bc,bd,cdは-5,-4,-3,-2,-1,0となる。
 
 
 
 最後はやっぱり試行錯誤ですねえ。あとは次の回答者に任せます。たぶん、x=0はダメな予感。

他1件のコメントを見る
id:Lhankor_Mhy

n=(c-m)/3 (4)
 nは整数ですから、(4)によりc-mは3で割り切れなくてはいけない、つまり3の倍数です。
 ですから、使わない数xを偶数の中から選び、頂点abcdの数字を選んだ時に(a+b+c+d)+x/2が3の倍数でない場合は、魔方陣が完成しない、ということです。
 
 で。
 仮に使わない数を4とした時に、数字が大きい順から5,3,2,1と選ぶとなんと、(5+3+2+1)-4/2=9と3の倍数になるではありませんか。ラッキーですね。この場合、9/3=3ですから各辺の和は3になるはずです。そこでabは3-(5+3)=-5、acは3-(5+2)=-4、adは3-(5+1)=-3、bcは3-(3+2)=-2、bdは3-(3+1)=-1、cdは3-(2+1)=0でした。これまたラッキーなことに数字がかぶりませんでしたね。これが解の一つになるはずです。
 先程の条件だけでは、魔方陣が完成する頂点の選び方である、とは限らないため試行錯誤する必要があります。ただ、頂点4つを決めれば辺の数字が一意に決まるだけ、むやみに数字を当てはめていくよりはマシになりましたね。他の条件の証明については次の回答者に任せますが、感覚としてx=0の時に解がないように思えていますので、その辺がヒントになるかもしれませんね。
 
 
 
 ということを書いていました。

2013/09/27 18:34:50
id:ishiikatsunori9

丁寧な解説、誠にありがとうございました。

今後ともよろしくお願いいたします。

2013/10/04 23:16:27
id:Sampo No.2

Sampo回答回数556ベストアンサー獲得回数1042013/09/28 11:43:00

いろいろ試した結果、体系だった解き方というのはなさそうという結論に達しました。

当てずっぽで当てはめたところ解はすぐ見つかって、それを変形(すべての符号を入れ替える方法、すべての辺に5を足してすべての頂点から6を引く方法、それらの組み合わせ)してさらに3つの解を見つけることはできたのですが、これで解のすべてかはわかりませんでしたし、魔方陣の埋め方みたいな解き方が導き出せません。

いろいろ試してみたのですが法則が見つけ出せないのでコンピュータで総当たりを試しました。5万通り前後なので計算は一瞬です。
結果は、4頂点の数字・一辺の和・余る数字 が

(-5,-4,-3,-1),-4,-2
(-5,-4,-3,1),-4,2
(-5,-4,-2,1),-4,4
(-5,-3,-2,-1),-3,-4
(-5,-3,-1,2),-3,4
(-5,-2,-1,3),-2,2
(-5,0,1,2),0,-4
(-5,0,1,3),0,-2
(-4,-3,0,3),-2,4
(-4,-2,0,4),-1,2
(-4,0,2,4),1,-2
(-3,-1,0,5),0,2
(-3,0,3,4),2,-4
(-3,1,2,5),2,-2
(-2,-1,0,5),0,4
(-2,1,3,5),3,-4
(-1,2,4,5),4,-4
(-1,3,4,5),4,-2
(1,2,3,5),3,4
(1,3,4,5),4,2

20通りでした。
いろいろわかることもある(余る数字は-2,-4,2,4しかない、4頂点の数字は連続しない、など)のですが、法則はあるのかと言われるとよくわからないですね…

この問題、テスト問題ではなく宿題(それも夏休みの宿題など)だったのではありませんか?
中1と言えば負の数をまず習います。このパズルを当てずっぽで試行錯誤すれば負の数の計算を自然とたくさんやることになるので、負の数の計算の練習としてこの問題が出されたのではと思いました。

そう思う根拠は他にもあります。-5から5までの11個の数、というのが不自然なんです。連続する11個の数であれば同じように解けるので、普通なら「0から10までの11個の数」と問うところです。

ということはやはり、「負の数に触れること」がメインの問題だったのではないかなと。

id:ishiikatsunori9

丁寧な解説ありがとうございました。
大変勉強になりました。

今後ともよろしくお願いいたします。

2013/10/04 23:17:04

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