クイズのルール設計と確率について。

クイズで4択の問題があって、1グループあたり6人ずつをひとまとめにしたグループが10あります(全部で60人いる)。各参加者が正解を選択できる確率は1/4と仮定します。グループ対抗で正答率(6人中何人が正解したか)が最も高いグループを勝ちとします。

2つ以上のグループが同率一位に並ぶ確率というのは、以上の条件から計算できるのでしょうか?計算の過程も含めて教えていただけましたら幸いです。
(選択肢を5つ、6つと増やしていけば、その確率は小さくなると思うのですが、そのあたりを定量的に判断したいなと思っているためです)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2013/10/10 20:35:01
  • 終了:2013/10/17 20:35:03

ベストアンサー

id:j9R No.2

BURAI回答回数10ベストアンサー獲得回数22013/10/12 04:54:23

ポイント50pt

6人正解が2グループの確率、6人正解が3グループの確率…と場合の数を数え上げていけば確率は出せます。出せますけど途中で飽きたのでシミュレーションしてみました。言語はRです。

group_no_seikaininnzuu <- function(){
x <- sample(c("t","f"), 6, replace = T, prob = c(1/4, 3/4))
return( length(x[x=="t"]) )
}

itii_ninzuu <- function(){
x <- replicate(10, group_no_seikaininnzuu())
return( length( x[x==max(x)]) )
}

x <- replicate(100000, itii_ninzuu())
length(x[x>1])/length(x)

結果は0.46432で46%前後というところでしょうか。
誕生日のパラドックスもそうですがこういうのは意外に確率が高くなりますね。

選択肢を増やした場合ですが
選択肢の数:同率一位の確率
1択:100%、2択:48%、3択:45%、4択:46%、5択:47%、6択:49%、7択:50%
逆に選択肢が増えた方が同率が増えます。
選択肢を増やすと正答一人が2グループと言う状況が増えるためだと思われます。

id:letitflow

御礼申し上げるのが遅くなり申し訳ありません。R でのシミュレーションの式を教えていただけて助かりました。今後のステップとして参考にしたいと思います。また選択肢を増やすと同率が増えるというのも私自身の直感とは逆の結果になり、大変興味深いと思いました。ありがとうございます。

2013/10/18 18:36:33
id:j9R

大抵のクイズ番組が早押しなのも同率を避ける工夫なのかもしれません

2013/10/20 00:09:10

その他の回答(1件)

id:NAPORIN No.1

なぽりん回答回数4557ベストアンサー獲得回数8452013/10/10 23:48:27

ポイント50pt

クイズというのは普通は考えて答えるのですが、
正答率1/4というのはヤマカン、4面サイコロを振っているのと同じ状態ですね。
1問やれば期待値は、1グループにつき1.5人は正答を出しますがここでは関係ないですね。

6人全員が正解の確率は1/4の六乗で、1/4096、0.024%です。以下分母同じで、
5人   18 (0.43%)、
4人  135 (3.29%)、
3人  540 (13.18%)、
2人 1215 (29.66%)、
1人 1458 (35.59%)
0人  729。(17.79%)

(分子は3のn乗に6Cnをかけている)

括弧内が予想できる分布率になってるとおもいます。
これを10チームでやるので分布率に10倍かけてやるといいですが面倒なので10%が1チームとおぼえてください。
上から10%で区切れるのはどこらあたりかとみていきますと、

まず4~6人正解までの確率が3.75%。3回繰り返すと10チーム中1チームが4人正解を達成することがある程度。6人正答という事態は400問のクイズをくりかえすまでに一度あるかどうか。
で、3人もふくめた6人~3人正解までの合計確率がいきなり16.8%。3人正解だけで13%の分布を持っている(10%を超えている)ので、3人正解の2チームが同率一位をわけあう事態が3回に1回くらいは発生しそうです。

それより下位のチームは、2人正解チームが各回平均3チーム(同率3位)、1人正解チームが3チームか4チーム(同率6位)、だれも正解しなかったチームも1チームか2チーム(同率9位)。というふうに順位がつけづらいくらいのおだんごになるでしょう。
 
もしヤマカンになるような難しいクイズなのなら3択や2択に減らしたほうがよさそうですね。
普通はもっと正解率があがるので上方にばらけるとおもいます。

id:letitflow

なぽりんさんもいつも迅速なご回答をいただき、大変助かります。ありがとうございます。私は事象の数を調べて確率を出すところから、分布を見るあたりまでの知識がつながっていなかったのでなぽりんさんのご回答もとても参考になりました。ありがとうございます。

2013/10/18 18:38:24
id:j9R No.2

BURAI回答回数10ベストアンサー獲得回数22013/10/12 04:54:23ここでベストアンサー

ポイント50pt

6人正解が2グループの確率、6人正解が3グループの確率…と場合の数を数え上げていけば確率は出せます。出せますけど途中で飽きたのでシミュレーションしてみました。言語はRです。

group_no_seikaininnzuu <- function(){
x <- sample(c("t","f"), 6, replace = T, prob = c(1/4, 3/4))
return( length(x[x=="t"]) )
}

itii_ninzuu <- function(){
x <- replicate(10, group_no_seikaininnzuu())
return( length( x[x==max(x)]) )
}

x <- replicate(100000, itii_ninzuu())
length(x[x>1])/length(x)

結果は0.46432で46%前後というところでしょうか。
誕生日のパラドックスもそうですがこういうのは意外に確率が高くなりますね。

選択肢を増やした場合ですが
選択肢の数:同率一位の確率
1択:100%、2択:48%、3択:45%、4択:46%、5択:47%、6択:49%、7択:50%
逆に選択肢が増えた方が同率が増えます。
選択肢を増やすと正答一人が2グループと言う状況が増えるためだと思われます。

id:letitflow

御礼申し上げるのが遅くなり申し訳ありません。R でのシミュレーションの式を教えていただけて助かりました。今後のステップとして参考にしたいと思います。また選択肢を増やすと同率が増えるというのも私自身の直感とは逆の結果になり、大変興味深いと思いました。ありがとうございます。

2013/10/18 18:36:33
id:j9R

大抵のクイズ番組が早押しなのも同率を避ける工夫なのかもしれません

2013/10/20 00:09:10

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