与えられた4点を順次、辺で結んだ閉図形の呼び方をお教え下さい

4点;P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3),P4(x4,y4,z4)[但しx1(=or≠)x2(=or≠)x3(=or≠)X4,y1(=or≠)y2(=or≠)y3(=or≠)y4,z1(=or≠)z2(=or≠)z3(=or≠)z4」
4辺;P1⇒P2,P2⇒P3,P3⇒P4,P4⇒P1とします[P1⇒P2は点P1からP2へむすぶ]
ついでに、4点が作る体積と、4辺が作る最大面積の計算式を回答していただいた方には加点します。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2014/01/03 22:25:17
  • 終了:2014/01/09 16:15:17

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032014/01/04 06:19:23

ポイント100pt

 とりあえず、体積については、有名な公式があります。(^_^;
●行列式は美しい
http://www.geocities.jp/me109e4jp/gyouretusiki.html

id:tazikisai-mukou

ありがとうございます、体積を求めるには「行列式」は強力で理解が早いですね!

2014/01/06 14:57:07
id:tazikisai-mukou

【体積】は
0次元は1点(点数)
1次元ならば長さ、その時の表面積は端点の2点
2次元ならば面積、その時の表面積は周長
3次元ならば立体の体積、その時の表面積は立体の表面積そのもの
4次元ならば4次元容積(体積)、表面積は長さ単位の3乗になりますが、

体積を理解するのは容易で、値を計算するのはrscさんが示された【行列式】は強力な道具になります、どちらかと言うと面積を計算する方が難しいですね。
でも、規則性が見出せる図形の場合は、ある程度簡単に計算できるモノ有るようですね、体積でも同じですが、断面を断面の重心の移動距離について積分すれば得られる事になります、移動経路や向きに関係なく計算出来るのが嬉しい、が断面の変化と移動距離を掴むのがかなり難しそう。

2014/01/07 14:01:49

その他の回答(1件)

id:matryosika No.1

matryosika回答回数36ベストアンサー獲得回数142014/01/04 02:35:38

ポイント100pt

☆名前について
四点がすべて異なるとします。
この図形に名前をあえて付けるなら、グラフ理論における閉路グラフと同じものとみなせます。閉路グラフとみなしたとき、この図形はノードは4つあるので、C_4と記号で表したりします。

☆体積について
4点が作る体積について、ある一点から残りの三つの点への位置ベクトルが線型独立であるとし、4面体を仮定します。
そうならば、スカラー三重積を使った簡単な公式が存在します。
V=¥frac{1}{6}¥left|¥vec{P_1P_2}¥cdot ¥left( ¥vec{P_1P_3}¥times ¥vec{P_1P_4} ¥right)¥right|
三つのベクトルのスカラー三重積はそれらのベクトルで張られる平行六面体の符号付体積なので、それらを六等分して四面体を得ます。ちなみに、求められるのが符号付体積なので、通常の意味での体積を導くために絶対値がついています。

☆面積について
四つの点によって空間上に折れ面を構成できるので、その面積について考えます。
折れを直せば、各ベクトルの長さを辺長としてもつ四角形の面積を考えることと同じこととなり、辺長が与えられている四角形の面積公式である、Bretschneiderの公式というものを使うことができます。
Bretschneiderの公式
S=¥sqrt{(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)-abcd¥cos^2¥theta}
a,b,c,d:各辺長、¥theta:対角の和の半角、t=¥frac{a+b+c+d}{2}(周長の半分)
この式によると、abcd¥cos^2¥theta>0であるので、この項が0になるようにとる、即ち対角の和が180°のときに最大面積となり、最大面積の式:
S_{¥mathrm{max}}=¥sqrt{(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)}
を得ます。この式のa,b,c,dに、設問のベクトルの長さを代入すれば、題意を満たす式となります。
ちなみに、対角の和が180°の四角形は外接円を持つので、辺長が与えられている場合の最大面積となる四角形は、円に内接するような四角形であるといえます。

id:tazikisai-mukou

ありがとうございます。面積については(「空間上に折れ面を構成」=三角形が2つで出来る1組の屋根型、当然もう1組の屋根型もできる訳で)でなく滑らかな連続曲面の面積が希望なのですが。(当然平面の場合も含まれます)

2014/01/06 15:56:26
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032014/01/04 06:19:23ここでベストアンサー

ポイント100pt

 とりあえず、体積については、有名な公式があります。(^_^;
●行列式は美しい
http://www.geocities.jp/me109e4jp/gyouretusiki.html

id:tazikisai-mukou

ありがとうございます、体積を求めるには「行列式」は強力で理解が早いですね!

2014/01/06 14:57:07
id:tazikisai-mukou

【体積】は
0次元は1点(点数)
1次元ならば長さ、その時の表面積は端点の2点
2次元ならば面積、その時の表面積は周長
3次元ならば立体の体積、その時の表面積は立体の表面積そのもの
4次元ならば4次元容積(体積)、表面積は長さ単位の3乗になりますが、

体積を理解するのは容易で、値を計算するのはrscさんが示された【行列式】は強力な道具になります、どちらかと言うと面積を計算する方が難しいですね。
でも、規則性が見出せる図形の場合は、ある程度簡単に計算できるモノ有るようですね、体積でも同じですが、断面を断面の重心の移動距離について積分すれば得られる事になります、移動経路や向きに関係なく計算出来るのが嬉しい、が断面の変化と移動距離を掴むのがかなり難しそう。

2014/01/07 14:01:49
id:tazikisai-mukou

分かりにくい質問をしてすみません、でも理解して頂いてありがとうございます。(ワザと「名」が出にくいと言うか、私の言葉に惑わされないようにしていたつもりです)
要するに、4点は3次元空間上に自由に散らばっていて(当然、同一座標も有り得るわけで{全点??})そしてその4点を順次つなぐ輪っか?の点と線で出来た「4点形?」と考えて貰って結構です。
角が4つ認められれば「4角形」、辺が4つ認められれば「4辺形」と言えますが、[4点の座標、それらを結ぶ4つの辺がある]と言う条件だけで、頂点は4つ見えないかもしれないし、辺も4つ見えないかもしれない図形です(当然ながら、辺と辺のクロスはOKです・・つまり凸多角形とは限りません)

  • id:tazikisai-mukou
    多食斎友好=世田介 2014/01/07 13:14:36
    お二人の「程度の高い回答」が出てしまって、他の方が口を出す余地が無いのかもしれません。
    私の「本題」はモット程度が低い質問で、気楽に答えて貰って良いと思ってます。
    「3次元空間中に4点があり、バラバラにならない様に始点から終点へ順に結びつけ、一つの輪にした図形」の呼び名。例を挙げれば、{正方形}{リボン型}{4面体の6本の稜6本の内、対辺2本を除いた周回経路}などがあります。
    【4点は球面上にある。】但し平面上のように曲率半径が無限だったり、直線上に全てある場合のように多数の面に同時に存在したり、一点なって、曲率半径どころか、方向性も定まらない、しかし存在と位置はある。---場合もあることをお忘れなく。
    みなさん、「本題」をご遠慮なくご回答下さい。

  • id:tazikisai-mukou
    本題の回答はありませんでしたが、一旦終了了いたします。おふた方ありがとうございました。
    これからもわけのわからん質問を出すかもしれませんが、これに懲りず宜しく回答をください。

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