解析学について


∞Σn=1 (n/(2^n))
次の無限級数の収束、発散の示しかたを教えてください 

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2014/02/10 01:02:23
  • 終了:2014/02/17 01:05:04

回答(1件)

id:matryosika No.1

matryosika回答回数36ベストアンサー獲得回数142014/02/10 02:22:45

d'Alambertの収束判定法より、
¥lim_{n¥to¥infty}¥left|¥frac{a_{n+1}}{a_n}¥right|<1¥Rightarrow¥sum_{n=1}^¥infty a_n<¥infty
であるので、ただ単に収束のみを示したければこの方法が使えます。ちなみに、極限値は1/2となり、1未満なのでこの級数は収束します。

もし級数の値を調べたければ、公比1/2の等比数列の積として数列が与えられているので、部分和に公比を乗した、 ¥frac{1}{2}S_nを調べればいいです。
S_n=¥frac{1}{2}+¥frac{2}{2^2}+¥cdots+¥frac{n}{2^n},
¥frac{1}{2}S_n=¥frac{1}{2^2}+¥cdots+¥frac{n-1}{2^n}+¥frac{n}{2^{n+1}}.
両者を引けば、
¥frac{1}{2}S_n=¥frac{1}{2}+¥frac{1}{2^2}+¥cdots+¥frac{1}{2^n}-¥frac{n}{2^{n+1}}
であり、部分和の極限としてこの級数の具体的な値を直接求めることができます。最後の¥frac{n}{2^{n+1}} n¥to¥inftyの極限は、不定形なのでde l'Hopitalの定理を使えば簡単でしょう。

コメントはまだありません

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません